矩阵的常见4中分解总结

一,矩阵的LU分解

方针

A=L*U
其中:
L是下三角矩阵,是一系列初等矩阵的乘积,且主对角线都为1
U是上三角矩阵,是一上述初等矩阵的逆矩阵乘积,主对角线没有要求
可行性:在对矩阵进行高斯约旦消元法

A=L*D*U
和上述情况类似,这里把U化为主对角线都为1的矩阵,D是只有主对角线有元素的矩阵

二,矩阵的QR分解

A=QR
其中:
Q是标准正交矩阵
R是上三角矩阵

矩阵的QR分解用来求解Ax=b的线性问题时非常方便

三,矩阵的对角化

矩阵相似:A=P-1BP

几何理解是,A和B的本质是一样的,只是放在不同的坐标系下观察

 A=PDP-1
 P是坐标系
 对于一个矩阵A有可能在P这个坐标系下找到一个矩阵D,而D又是比较简单的矩阵

四,矩阵的SVD分解

SVD分解又叫奇异值分解,改分解对矩阵没有限制

A=U*Σ*Vt
如果A是m*n的矩阵
U:m*m的矩阵由奇异值变形组成的矩阵
Σ:有奇异值作为主对角线的矩阵,形状为m*n
Vt:是一个标准正交矩阵的转置,n*n