CF1750 记录

下面是 VP 时过的题。

Indirect Sort

可以发现 $1$ 在 $a_1$ 处，则其他位置可以自由交换；否则 $1$ 的对应数不能变大（并且其他数不能变小），也不能换到 $a_1$ 上。所以有一组合法操作的充要条件是 $a_1=1$。

代码

Maximum Substring

可以发现花费为 $cnt_0cnt_1$ 时取整个串一定最优，其余显然是处理极长相同值的段即可。（为什么 B 比 A 简单）

代码

Complementary XOR

考虑构造 $s_1,s_2$ 对应的差分序列 $d_1,d_2$。此时选择区间 $[l,r]$ 进行操作后，$d_{1,l},d_{1,r+1}$ 和 $d_{2,1},d_{2,l},d_{2,r+1}$ 都会取反（$d_{1,n+1},d_{2,n+1}$ 恒为 $0$）；而目标是将 $d_1,d_2$ 内每个数变为 $0$。此时 $\exists i>1,d_{1,i}\ne d_{2,i}$ 则无解；否则结合 $d_{1,1},d_{2,1}$ 的初值讨论即可。

代码

Count GCD

令 $G_i=\gcd\limits_{j=1}^i a_i$，考虑从 $G_i$ 到 $G_{i+1}$ 需要 $a_{i+1}$ 满足什么性质。此时 $\gcd(G_i,a_{i+1})$ 为 $G_{i+1}$，需要 $G_i\bmod G_{i+1}=0$ 且 $\frac{G_i}{G_{i+1}}$ 和 $\frac{a_{i+1}}{G_{i+1}}$ 互质。此时可以对于每个 $\frac{G_i}{G_{i+1}}$ 处理质因数（对于某个合法的情况，$\prod_{i=1}^{n-1}\frac{G_i}{G_{i+1}}\le M$，故总时间复杂度为 $O(\sqrt m)$），然后对于 $\frac{a_{i+1}}{G_{i+1}}$ 容斥出对应的答案时，由于 $2\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 17\times 19\times 23<10^9<2\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 17\times 19\times 23\times 29$；可得单次容斥计算的时间不超过 $O(2^9)$。

代码

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下面是赛后过的题。

Bracket Cost

参考了 dottle 的题解。

考虑对某个子串 $[l,r]$ 进行操作时，设内部的左括号总数为 $L$，右括号总数为 $R$，匹配的括号对数为 $X$，则对 $[l,r]$ 操作的最小代价为 $\max(L,R)-X$。

证明：先考虑必要性。第一个操作可以视为删除某个字符并在更前面任意处插入该字符，则每次操作一定不会增加对于一对匹配的括号，操作次数一定不会小于 $\max(L,R)-X$。

然后考虑可能性。考虑 $L\ge R$ 的情况：可以从前往后扫每个未匹配的左括号，如果存在未匹配的右括号，则其一定在这个左括号前面，可以直接把左括号移到该右括号前；否则在后面新增一个右括号。每一次操作均减少了一个未匹配的左括号，故总操作数为 $\max(L,R)-X$。

此时需要计算 $\sum\max(L,R)$ 和 $\sum X$。计算 $\sum X$ 时，可以对原串的括号序列贪心进行匹配，然后对于每个括号对 $(l,r)$，有 $l(n-r+1)$ 个子串包括它。计算 $\max(L,R)$ 时，可以将其拆成 $\frac 12(L+R+|L-R|)$。$\sum L+R$ 不难求，然后求 $\sum |L-R|$ 时可以令左括号为 $1$，右括号为 $-1$，$s_i$ 为 $1\sim i$ 之和，则 $\sum |L-R|$ 为 $\sum_{i=0}^n\sum_{j=i+1}^n |s_i-s_j|$。可以把 $s$ 升序排序，则 $\sum |L-R|=\sum_{i=0}^n\sum_{j=i+1}^n (s_j-s_i)=\sum_{j=1}^n js_j-\sum_{i=0}^n(n-i)s_i$。

代码

Majority

先排除某个串的首位两端有 $0$ 的情况，则长为 $n$ 且两端一定有 $1$ 的串的数量显然为 $2^{n-2}$（$n\ge 2$）。下面只考虑两端一定为 $1$ 的串。

考虑在最后每一个不合法的串只能转成 $2p+1$ 部分，满足第奇数部分全为 $1$，第偶数部分全为 $0$ 且长度大于两边两段 $1$ 的长度和。可以枚举最后的串的形态然后进行 dp。

设 $dp_{i,j}$ 为 $1\sim i$ 内最后一个全 $1$ 段的长度为 $j$ 的不合法的串的数量，$f_i$ 为长度为 $i$ 的合法串（特别地，$dp_{i,i}=f_i$）转移时枚举最后的全 $0$ 段和全 $1$ 段，则式子有 $dp_{i,j}=f_j\sum_{b=1}^{i-1}\sum_{a=1}^{b-j-1}dp_{i-j-b,a}$。此时根据定义有 $i-j-b+a=i-j-(b-a)<i-2j$，问题相当于求 $\sum_{a+b<i-2j}dp_{a,b}$，前缀和优化即可。

代码