CF1750 记录

下面是 VP 时过的题。

Indirect Sort

可以发现 \(1\) 在 \(a_1\) 处，则其他位置可以自由交换；否则 \(1\) 的对应数不能变大（并且其他数不能变小），也不能换到 \(a_1\) 上。所以有一组合法操作的充要条件是 \(a_1=1\)。

代码

Maximum Substring

可以发现花费为 \(cnt_0cnt_1\) 时取整个串一定最优，其余显然是处理极长相同值的段即可。（为什么 B 比 A 简单）

代码

Complementary XOR

考虑构造 \(s_1,s_2\) 对应的差分序列 \(d_1,d_2\)。此时选择区间 \([l,r]\) 进行操作后，\(d_{1,l},d_{1,r+1}\) 和 \(d_{2,1},d_{2,l},d_{2,r+1}\) 都会取反（\(d_{1,n+1},d_{2,n+1}\) 恒为 \(0\)）；而目标是将 \(d_1,d_2\) 内每个数变为 \(0\)。此时 \(\exists i>1,d_{1,i}\ne d_{2,i}\) 则无解；否则结合 \(d_{1,1},d_{2,1}\) 的初值讨论即可。

代码

Count GCD

令 \(G_i=\gcd\limits_{j=1}^i a_i\)，考虑从 \(G_i\) 到 \(G_{i+1}\) 需要 \(a_{i+1}\) 满足什么性质。此时 \(\gcd(G_i,a_{i+1})\) 为 \(G_{i+1}\)，需要 \(G_i\bmod G_{i+1}=0\) 且 \(\frac{G_i}{G_{i+1}}\) 和 \(\frac{a_{i+1}}{G_{i+1}}\) 互质。此时可以对于每个 \(\frac{G_i}{G_{i+1}}\) 处理质因数（对于某个合法的情况，\(\prod_{i=1}^{n-1}\frac{G_i}{G_{i+1}}\le M\)，故总时间复杂度为 \(O(\sqrt m)\)），然后对于 \(\frac{a_{i+1}}{G_{i+1}}\) 容斥出对应的答案时，由于 \(2\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 17\times 19\times 23<10^9<2\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 17\times 19\times 23\times 29\)；可得单次容斥计算的时间不超过 \(O(2^9)\)。

代码

---

下面是赛后过的题。

Bracket Cost

参考了 dottle 的题解。

考虑对某个子串 \([l,r]\) 进行操作时，设内部的左括号总数为 \(L\)，右括号总数为 \(R\)，匹配的括号对数为 \(X\)，则对 \([l,r]\) 操作的最小代价为 \(\max(L,R)-X\)。

证明：先考虑必要性。第一个操作可以视为删除某个字符并在更前面任意处插入该字符，则每次操作一定不会增加对于一对匹配的括号，操作次数一定不会小于 \(\max(L,R)-X\)。

然后考虑可能性。考虑 \(L\ge R\) 的情况：可以从前往后扫每个未匹配的左括号，如果存在未匹配的右括号，则其一定在这个左括号前面，可以直接把左括号移到该右括号前；否则在后面新增一个右括号。每一次操作均减少了一个未匹配的左括号，故总操作数为 \(\max(L,R)-X\)。

此时需要计算 \(\sum\max(L,R)\) 和 \(\sum X\)。计算 \(\sum X\) 时，可以对原串的括号序列贪心进行匹配，然后对于每个括号对 \((l,r)\)，有 \(l(n-r+1)\) 个子串包括它。计算 \(\max(L,R)\) 时，可以将其拆成 \(\frac 12(L+R+|L-R|)\)。\(\sum L+R\) 不难求，然后求 \(\sum |L-R|\) 时可以令左括号为 \(1\)，右括号为 \(-1\)，\(s_i\) 为 \(1\sim i\) 之和，则 \(\sum |L-R|\) 为 \(\sum_{i=0}^n\sum_{j=i+1}^n |s_i-s_j|\)。可以把 \(s\) 升序排序，则 \(\sum |L-R|=\sum_{i=0}^n\sum_{j=i+1}^n (s_j-s_i)=\sum_{j=1}^n js_j-\sum_{i=0}^n(n-i)s_i\)。

代码

Majority

先排除某个串的首位两端有 \(0\) 的情况，则长为 \(n\) 且两端一定有 \(1\) 的串的数量显然为 \(2^{n-2}\)（\(n\ge 2\)）。下面只考虑两端一定为 \(1\) 的串。

考虑在最后每一个不合法的串只能转成 \(2p+1\) 部分，满足第奇数部分全为 \(1\)，第偶数部分全为 \(0\) 且长度大于两边两段 \(1\) 的长度和。可以枚举最后的串的形态然后进行 dp。

设 \(dp_{i,j}\) 为 \(1\sim i\) 内最后一个全 \(1\) 段的长度为 \(j\) 的不合法的串的数量，\(f_i\) 为长度为 \(i\) 的合法串（特别地，\(dp_{i,i}=f_i\)）转移时枚举最后的全 \(0\) 段和全 \(1\) 段，则式子有 \(dp_{i,j}=f_j\sum_{b=1}^{i-1}\sum_{a=1}^{b-j-1}dp_{i-j-b,a}\)。此时根据定义有 \(i-j-b+a=i-j-(b-a)<i-2j\)，问题相当于求 \(\sum_{a+b<i-2j}dp_{a,b}\)，前缀和优化即可。

代码