最小表示法

最小表示法

定义

求 $\text{argmin}_{i=1}^n (S_i\sim S_n+S_1\sim S_{i-1})$。通俗地说，不断将字符串末尾的字符移到开头，得到的 $n$ 个字符串中的字典序最小者即为字符串的 最小表示。

暴力求法

在得知 $i\in[1,k)$ 时使得 $S_i\sim S_n+S_1\sim S_{i-1}$ 最小的 $i$ 时，可以直接将其和 $S_k\sim S_n+S_1\sim S_{k-1}$ 比较，得出 $i\in[1,k]$ 时使得 $S_i\sim S_n+S_1\sim S_{i-1}$ 最小的 $i$。虽然随机数据下表现良好，但是可以构造形如 $aa\cdots ab$ 的数据将其卡成 $O(n^2)$。

后缀数组

求出 $S_1\sim S_n+S_1\sim S_n$ 的后缀数组，然后 $1\sim n$ 中 $rk$ 最小者即为最小表示。证明显然。

$O(n)$ 做法

原理

令 $f(i)=S_i\sim S_n+S_1\sim S_{i-1}$，若 $f(i)>f(j)$ 且 $f(i)_1\sim f(i)_k=f(j)_1\sim f(j)_k$（令 $g(i,j)=\max_{k=1}^n[f(i)_1\sim f(i)_k=f(j)_1\sim f(j)_k]\cdot k$），则 $\forall p\in[1,k],f(i+k)>f(j+k)$。也就是 $\forall p\in[i,i+k]$，$p$ 均不会成为最小表示。

做法

仍然是维护当前的最小表示 $i$ 和对应的集合 $[1,j]$。比较 $f(i)$ 和 $f(j+1)$，如果 $f(i)<f(j+1)$，则将 $j$ 赋为 $j+g(i,j+1)+1$，否则将 $i$ 赋为 $j+1$，将 $j$ 赋为 $\max(j+1,i+g(i,j+1)+1)$。

时间复杂度

模板代码

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=300010;
inline int Md(int x){return x-(x>=n)*n;}
int n,i,j,k,p;
int a[maxn]; 
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(i=0;i<n;++i) scanf("%d",a+i);
    i=0;
    for(j=1;j<n;++j){
        k=0;
        while(k<=n&&a[Md(i+k)]==a[Md(j+k)]) ++k;
        if(a[Md(i+k)]>a[Md(j+k)]){
            p=j;
            j=max(j,i+k);
            i=p;
        }
        else j=j+k;
    }
    for(j=0;j<n;++j) printf("%d ",a[Md(i+j)]);
    return 0;
}