由 Hack Floyd 问题引出的 Floyd 的正确性证明

摘自一篇博客，突然想写了，但是确实和原题做法也没啥关系（其实也有点关系）。感觉 Floyd 的动态规划还是非常高深的，我好像以前并没有完全理解清楚他在做什么，即使我做了灾后重建一题。

主要是一个结论：当我们求 $d_{i,j}$ 的时候，枚举了中转点 $k$，当我们枚举的 $k$ 的编号等于 $path(u,v)$ 上编号最大的点的时候，我们就完成了更新。

我们使用数学归纳法：当我们求 $d_{i,j}$ 的时候，我们要证明 $d_{i,k}$ 与 $d_{k,j}$ 的答案都是最优的。我们记 $path(i,k)$ 和 $path(k,j)$ 上的点分别为 $k1$ 和 $k2$。由于 $k1<k$ 且 $k2<k$，那么由归纳，我们的 $d_{i,k}$ 和 $d_{k,j}$ 就是最优的。又因为对于任意的 $i$，满足 $d_{i,i}=0$，于是我们就证明完毕了。