《组合数学》1.1 学习笔记

1.1 棋盘的完美覆盖

棋盘覆盖问题的探究

给出一个 $8\times 8$ 的棋盘，再给定 $1\times 2$ 的方块，方块可以随意旋转，请你构造出一种覆盖方式。这非常简单。且对于 $n\times m$ 的情况，若 $2\mid mn$，那么一定也至少存在一种构造方式。

构造方式如下：若 $2\mid mn$，那么 $2\mid m$ 或 $2\mid n$。不妨设 $2\mid m$。那么对于 $n$ 行中的每一行，我们都可以横着放 $\frac{m}{2}$ 块方块，因为 $2\mid m$。于是我们就构造完毕了。

至于覆盖的方案数我们不在此深究。

那么反过来，若 $2\nmid mn$，那么我们也可以证明其没有构造方式。我们对棋盘进行黑白间隔染色，再对方块进行染色，上为黑，下为白。于是我们想要构造出一种方案，至少要让棋盘中黑色和白色的个数相同。而因为保证了 $2\nmid mn$，两种方格的个数天然差 $1$，也就不可能构造出来了。

对于书中说的挖掉 $8\times 8$ 的左上角和右下角的问题，我们也可以考虑用上面染色的方式证明其没有构造方案。

注意：这种方法只能证明不能构造，而不能证明其存在构造方案。这是其只有必要性而没有充分性导致的。

$b$ - 方块覆盖问题

刚才的 $1\times 2$ 方块被称为 $2$ - 方块。而如若我们把其改为 $1\times b$，那么这样的方块就被称为 $b$ - 方块。下面我们要研究的就是 $b$ - 方块覆盖 $m\times n$ 棋盘的问题。

根据上面 $2$ - 方块覆盖问题的结论，我们进行大胆猜测：棋盘可以进行 $b$ - 覆盖当且仅当 $b\mid m$ 或 $b\mid n$。

当然因为数论因数余数关系复杂等诸多原因，这个结论可能不太好证明。于是我们考虑弱化结论，猜测若 $b$ 为质数，那么结论成立。这是显然的，证明与上面的 $2$ - 方块的证明并无二异。

下面我们证明真正的结论。我们假设棋盘可以被完美覆盖，并根据猜测设 $m=pb+r$，$n=qb+s$。其中 $r,s\in [0,b-1]$。我们不妨设 $r\le s$。

接下来我们要证明的问题转化为证明 $r=0$。我们把棋盘进行 $b$ - 染色，并把其分成 $pb\times n$（上方），$r\times qb$（左下方）和 $r\times s$（右下方）三部分。

注意到只有上方和左下方的棋盘必定都可以被完美覆盖。那么我们只需要讨论 $r\times s$ 的部分即可。假设我们认为 $r\ne 0$。

一方面我们考虑颜色 $1$ 出现了几次，注意到由于棋盘进行了 $b$ - 染色，故在 $r\times s$ 的小棋盘中，每行只会出现一个 $1$，出现了 $r$ 个 $1$，另一方面每种颜色与 $1$ 的地位等价，故总应占有 $r\times b$ 个方格。得到 $rs=rb$，得到 $b=s$，与 $s$ 的定义域矛盾。所以 $r$ 必定为 $0$。

于是我们的结论就证明完毕了。

下面我们根据 $2$ - 方块的构造对结论进行更强的改写。在构造中，我们使用了全横 / 全竖的构造，我们称这种构造是平凡的。这基于我们知道 $2\mid n$ 或 $2\mid m$。而在上面的结论中我们也证明了 $b\mid n$ 或 $b\mid m$。所以我们依然可以这样构造。

于是我们得出结论：一个棋盘有构造的充要条件是其有平凡构造。也就是说，一个棋盘只要有构造，那么我们就可以把这个构造改成平凡的。

$4\times 4$ 棋盘与断层线

设有一个 $4\times 4$ 的棋盘，其有三条竖线和三条横线是有用的，因为沿着这些线的任意一条都可以把棋盘切割成两份。如果现在棋盘已经被一种完美覆盖了，且切割后两个小份也都被完美覆盖了，那么称这条线为这个完美覆盖的一条断层线。问是否存在一种覆盖，使得其没有断层线。

我们设 $x_1,x_2,x_3$ 为三条横线所切割的方块数。要保证其没有断层线，就要保证 $x_1,x_2,x_3>0$。很容易发现 $x_1,x_2,x_3$ 都是偶数，于是 $x_1+x_2+x_3\ge 6$。同理设出 $y_1,y_2,y_3$ 表示三条竖线所切割的方块数。那么 $y_1+y_2+y_3\ge 6$。

于是 $x_1+x_2+x_3+y_1+y_2+y_3\ge 12>8$，于是矛盾，于是 $4\times 4$ 棋盘的完美匹配都必然存在断层线。

这个例子本质上是一个完美匹配拼合问题，很具有启发性。