图论入门（完结）

更新线

• 图的基本概念（已更）
• 图的存储结构（邻接矩阵、邻接表、链式前向星）（已更）
• 图的遍历（深度优先、广度优先）（已更）
• 一笔画问题（欧拉回路，已更）
• 哈密顿路问题（已更）
• 最短路径（已更）
• 最小生成树(已更)

图论简介及相关概念

图$(graph)$ 是一个二元组$G=(V(G),E(G))$，其中$V(G)$是非空集，称为点集 $(vertexset)$，对于$V$中的每个元素，我们称其为顶点$(vertex)$或节点$(node)$，简称点，$E(G)$为$V(G)$各结点之间边的集合，称为边集 $(edgeset)$
常用$G=(V,E)$ 表示图

• 当$V,E$都是有限集合时，称$G$为有限图
• 当$V$或$E$都是有限集合时，称$G$为无限图

图有多种，包括无向图$(undirectedgraph)$，有向图 $(directedgraph)$，混合图 $(mixedgraph)$，带权图 等

举个例子

无向图专业术语

1. 两个顶点之间如果有边连接，那么就视为两个顶点相邻
2. 路径：相邻顶点的序列
3. 圈：起点和终点重合的路径
4. 连通图：任意两点之间都有路径连接的图
5. 度：顶点连接的边数叫做这个顶点的度
6. 树：没有圈的连通图
7. 森林：没有圈的非连通图

有向图专业术语

1. 在有向图中，边是单向的：每条边所连接的两个顶点是一个有序对，他们的邻接性是单向的
2. 有向路径：相邻顶点的序列
3. 有向环：一条至少含有一条边且起点和终点相同的有向路径
4. 有向无环图$（DAG）$：没有环的有向图
5. 度：一个顶点的入度与出度之和称为该顶点的度
   1$)$.入度：以顶点为弧头的边的数目称为该顶点的入度
   2$)$.出度：以顶点为弧尾的边的数目称为该顶点的出度

图的存储方式

1.邻接矩阵

方法：对于一个有$V$的顶点的图而言，可以使用$V\ast V$的二维数组表示$G[i][j]$表示的是顶点$i$与顶点$j$的关系。如果顶点$i$和顶点$j$之间有边相连，$G[i][j]=1$如果顶点$i$和顶点$j$之间无边相连，$G[i][j]=0$，对于无向图：$G[i][j]=G[j][i]$

代码实现：

bool adj[MAXN][MAXN];
scanf("%d %d", &n , &m);
for (int i = 1 ; i <= m ; i ++) {
	int u , v;
	scanf("%d %d", &u , &v);
	adj[u][v] = 1;
	adj[v][u] = 1;	
} 

2.邻接表

方法：使用一个支持动态增加元素的数据结构构成的数组，如 $vector$<$int$>$adj[n+1]$ 来存边，其中$adj[u]$存储的是点的所有出边的相关信息$（$终点、边权等$）$

代码实现:

struct node{
	vector<int> v;
}a[MAXN];

for (int i = 1 ; i <= m ; i ++) {
	int u , v;
	scanf("%d %d", &u , &v);
	a[u].v.push_back(v);
	a[v].v.push_back(u);	
} 
return 0;

3.链式前向星

方法:

对于这样一张有向图：

输入边的顺序如下:

1 2  
2 3  
3 4  
1 3  
4 1  
1 5  
4 5

对于邻接表来说是这样的：

1 -> 2 -> 3 -> 5
2 -> 3
3 -> 4
4 -> 1 -> 5
5 -> ^
对于链式前向星来说是这样的：
edge[0].to = 2; edge[0].next = -1; head[1] = 0;
edge[1].to = 3; edge[1].next = -1; head[2] = 1;
edge[2].to = 4; edge[2],next = -1; head[3] = 2;
edge[3].to = 3; edge[3].next = 0; head[1] = 3;
edge[4].to = 1; edge[4].next = -1; head[4] = 4;
edge[5].to = 5; edge[5].next = 3; head[1] = 5;
edge[6].to = 5; edge[6].next = 4; head[4] = 6;
简化后：1 -> 5 -> 3 -> 2

核心代码：

struct edge{
	int to , nxt , w;
};
edge a[MAXN];
void add(int u , int v , int w) {
	a[cnt].w = w;
	a[cnt].to = v;
	a[cnt].nxt = head[u];
	head[u] = cnt ++;
}

图的遍历

（内置芝士）什么是图的遍历：从图中的某个顶点出发，按某种方法对图中的所有顶点访问且仅访问一次。为了保证图中的顶点在遍历过程中仅访问一次，要为每一个顶点设置一个访问标志

1.有向图的dfs

题目大意：

给定一个有向图，有$N$个顶点，$M$条边，顶点从$\mathrm{1..}N$依次编号，求出字典序最小的深度优先搜索顺序

总体思路：

利用邻接表存储点的关系，将点放入$dfs$里搜索与之相邻但未被遍历过的点
核心代码如下:

void dfs(int k) {
   if (vis[k]) return;
   vis[k] = 1;
   printf("%d ", k);
   for (set<int>:: iterator it = st[k].begin() ; it != st[k].end() ; it ++) {
   	dfs(*it);
   }
}
for (int i = 1 ; i <= m ; i ++) {
   int u , v;
   scanf("%d %d", &u , &v);
   st[u].insert(v);
} 
dfs(1);
for (int i = 1 ; i <= n ; i ++) {
   if (!vis[i]) dfs(i);
}

2.有向图的bfs

题目大意：

给定一个有向图，有$N$个顶点，$M$条边，顶点从$1$…$N$依次编号，求出字典序最小的宽度优先搜索顺序

思路：

利用邻接表存储点的关系，将点放入$bfs$里搜索与之相邻但未被遍历过的点
核心代码如下：

void bfs(int k) {
   q.push(k);
   while(!q.empty()) {
   	int x = q.front();
   	q.pop();
   	if (vis[x]) continue;
   	vis[x] = 1;
   	printf("%d ", x);
   	for (set<int>:: iterator it = st[x].begin() ; it != st[x].end() ; it ++) {
   		q.push(*it);
   	}
   }
}
for (int i = 1 ; i <= m ; i ++) {
   int u , v;
   scanf("%d %d", &u , &v);
   st[u].insert(v);	
} 
bfs(1);
for (int i = 1 ; i <= n ; i ++) {
   if (!vis[i]) bfs(i);
}

3.无向图的bfs

题目大意：

一个无向图，从指定顶点出发进行$BFS$，求遍历得到的顶点序

总体思路：

利用邻接矩阵存储边(每一层要从小到大排序，矩阵方便操作)，将点放入$bfs$里搜索与之相邻但未被遍历过的点
核心代码如下：

void bfs() {
	q.push(rt);
	while(!q.empty()) {
		int x = q.front();
		q.pop();
		if (vis[x]) continue;
		vis[x] = 1;
		printf("%d ", x);
		for (int i = 1 ; i <= n ; i ++) {
			if (adj[x][i]) {
				q.push(i);
			}
		}
	}
}
for (int i = 1 ; i <= m ; i ++) {
	int u , v;
	scanf("%d %d", &u , &v);
	adj[u][v] = 1;
	adj[v][u] = 1;	
} 

一笔画问题（欧拉路）

Ps：欧拉路指的是：存在这样一种图，可以从其中一点出发，不重复地走完其所有的边如果欧拉路的起点与终点相同，则称之为欧拉回路
需满足条件：

1. 图是连通的，若不连通不可能一次性遍历所有边
2. 对于无向图：有且仅有两个点，与其相连的边数为奇数，其他点相连边数皆为偶数；或所有点皆为偶数边点。对于两个奇数点，一个为起点，一个为终点。起点需要出去，终点需要进入，故其必然与奇数个边相连
3. 如果存在这样一个欧拉路，其所有的点相连边数都为偶数，那说明它是欧拉回路
4. 对于有向图：除去起点和终点，所有点的出度与入度相等。起点出度比入度大1，终点入度比出度大1。若起点终点出入度也相同，则为欧拉回路

利用$dfs$求一笔画路径

题目大意：

根据一笔画的两个定理，如果寻找欧拉回路，对任意一个点执行深度优先遍历；找欧拉路，则对一个奇点执行$dfs$，时间复杂度为$O(m+n)$，$m$为边数，$n$是点数

总体思路：

即把奇点作为起点放入$dfs$搜索,每搜索到一个相邻的点即把这条边删掉，若所有边都遍历到了，输出答案
核心代码如下：

void dfs(int k , int id) {
   ans[id] = k;
   bool f = 1;
   for (int i = 1 ; i <= n ; i ++) {
   	for (int j = 1 ; j <= m ; j ++) {
   		if (a[i][j]) {
   			f = 0;
   			break;
   		}
   	}
   }
   if (f) {
   	for (int i = 1 ; i <= id ; i ++) {
   		printf("%d ", ans[i]);
   	}
   	exit(0);
   }
   for (int i = 1 ; i <= n ; i ++) {
   	if (a[k][i]) {
   		a[k][i] = 0;
   		a[i][k] = 0;
   		dfs(i , id + 1);
   		a[k][i] = 1;
   		a[i][k] = 1;
   	}
   }
} 

$dfs$暴力求解哈密顿图

思路：利用邻接表存储边的关系，枚举1~$n$作为起点的情况，然后每搜到一种情况便把$ans$加$1$即可

int dfs(int k , int cnt) {
	if(cnt == n) return 1;
	int res = 0;
	for (int i = 1 ; i <= h[k][0] ; i ++) {
		if (!vis[h[k][i]]) {
			vis[h[k][i]] = 1;
			res += dfs(h[k][i] , cnt + 1);
			vis[h[k][i]] = 0;
		}
	}
	return res;
} 
for (int i = 1 ; i <= n ; i ++) {
	vis[i] = 1;
	ans += dfs(i , 1);
	vis[i] = 0;
}

最短路问题

最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图$（$由结点和路径组成的$）$中两结点之间的最短路径。
例如：

1. $floyd$

佛洛伊德是最简单的最短路径算法，可以计算图中任意两点间的最短路径。时间复杂度为$O(N^3)$，适用于出现负边权的情况

算法描述：

1. 初始化：
   点$u$、$v$如果有边相连，则$F[u][v]=w[u][v]$，如果不相连，则$F[u][v]=0x3f3f3f3f$

2. 核心代码

for(int k = 1 ; k <= n ; k ++) {
   for(int i = 1 ; i <= n ; i ++) {
      for(int j = 1 ; j <= n ; j ++) {
         if(F[i][j] > F[i][k] + F[k][j]) {
            F[i][j] = F[i][k] + F[k][j];
         }  
      }
   }
}	

3. 算法解释：

$F[i][j]$得出的就是任意起点$i$到任意终点$j$的最短路径
- 动态规划以”途径点集大小”为阶段
- 决策需要枚举中转点，不妨考虑也以中转点集为阶段
- $F[k][i][j]$表示”可以经过标号$\le k$的点中转时”从$i$到$j$的最短路
- $F[0][i][j]=W[i][j]$，$W$为前面定义的邻接矩阵
- $F[k][i][j]$ = $min${$F[k-1][i][j]$ , $F[k-1][i][k]$ + $F[k-1][k][j]$}
- $k$这一维空间可以省略，变成$F[i][j]$
- 由于$k$是$DP$的阶段循环，所以$k$循环必须要放在最外层

4. 使用$floyd$输出最短路径：

$Floyd$算法输出路径也是采用记录前驱点的方式。因为$floyd$是计算任意两点间最短路径的算法，$F[i][j]$记录从$i$到$j$的最短路径值。故我们定义$pre[i][j]$为一个二维数组，记录从$i$到$j$的最短路径中，$j$的前驱点是哪一个，递归还原路径

• $pre[i][i]$ 为 0，输入相连边时，重置相连边尾结点的前驱若有无向边：$pre[a][b]=a$，$pre[b][a]=b;$
• 更新若$floyd$最短路有更新，那么$pre[i][j]=pre[k][j];$
• 递归输出指两点$s$，$e$的最短路，先输出起点$s$，再将终点$e$放入递归，输出$s+1-e$的所有点。

核心代码：

void floyd() {
	for (int k = 1 ; k <= n ; k ++) {
		for (int i = 1 ; i <= n ; i ++) {
			for (int j = 1 ; j <= n ; j ++) {
				if (dp[i][k] + dp[k][j] < dp[i][j]) {
					dp[i][j] = dp[i][k] + dp[k][j];
					pre[i][j] = pre[k][j];
				}
			}
		}
	} 
}
void print(int x) {
	if (pre[s][x] == 0) return;
	print(pre[s][x]);
	printf(" %d", x);
}

2. $dijkstra$

主要方法：

• 分成两组：已经确定最短路、尚未确定最短路
• 从第2组中选择路径长度最短的点放入第1组并扩展
• 本质是贪心，只能应用于正权图
• 普通的$Djkstra$算法$O(N^2)$
• 堆优化的$Dijkstra$算法$O(NlogN)-O(MlogN)$

引入概念——松弛操作：

• 原来用一根橡皮筋直接连接$a$、$b$两点，现在有一点k，使得$a->k->b$比$a->b$的距离更短，则把橡皮筋改为$a->k->b$ ，这样橡皮筋更加松弛。
• 代码实现：$if(dis[b]>dis[k]+w[k][b])dis[b]=dis[k]+w[k][b];$

算法描述：

设起点为$s$，$dis[v]$表示从指定起点$s$到$v$的最短路径，$pre[v]$为$v$的前驱，用来输出路径

1.初始化

$memset(dis,+\infty )$
$memset(vis,false)$；
$(int$ $v=1;v<=n;v++)$
$dis[v]=w[s][v]$；
$dis[s]=0$；$pre[s]=0$；$vis[s]=true$；

2. 松弛$n-1$次

1. 在没有被访问过的点中找一个相邻顶点k，使得$dis[k]$是最小的；
2. $k$标记为已确定的最短路$vis[k]=true$;
3. 用$for$循环更新与k相连的每个未确定最短路径的顶点$v$(所有未确定最短路的点都松弛更新)

3.算法结束

dis$[v]$为$s$到$v$的最短路距离；$pre[v]$为$v$的前驱结点，用来输出路径

让我们来看一组动画 （不动的动画）

原始图

初始化

寻找源点相邻的最短路

松弛源点到1/4/3

寻找源点到1/4/3的最短路

松弛源点到4

寻找源点到4的最短路由于点4没有相邻点故不作松弛操作

寻找剩余未访问点3松弛源点到4并未更改最短路

最后奉上本人的代码（优化后） ：

struct edge{
   int to , nxt , w;
}a[MAXN];
void add(int u , int v , int w) {
   a[++ cnt].w = w;
   a[cnt].to = v;
   a[cnt].nxt = head[u];
   head[u] = cnt;
}
struct node{
   int id , w;
   node(int iid , int ww) {
   	id = iid;
   	w = ww;
   }
   friend bool operator<(node x , node y) {
   	return x.w > y.w;
   }
};
priority_queue<node> q;
void dijkstra() {
   memset(dis , 0x3f , sizeof(dis));
   dis[s] = 0;
   q.push(node(s , 0));
   while(!q.empty()) {
   	int u = q.top().id;
   	q.pop();
   	if (vis[u]) continue;
   	vis[u] = 1;
   	for (int i = head[u] ; i ; i = a[i].nxt) {
   		int v = a[i].to , w = a[i].w;
   		if (dis[v] > dis[u] + w) {
   			dis[v] = dis[u] + w;
   			q.push(node(v , dis[v]));
   		}
   	}
   }
}

3. $Bellman-Ford$

• $Bellman-Ford$算法：对每条边执行更新，迭代$N-1$次
• 具体操作是对图进行最多$n-1$次松弛操作，每次操作对所有的边进行松弛，为什么是$n-1$次操作呢？这是因为我们输入的边不一定是按源点由近至远，万一是由远至近最坏情况就得$n-1$次
• 可以应用于负权图
• 预计时间复杂度：$O(n^2)$

非本人代码（不想打了）：

想都不用想就知道有多慢

所以，我们引入了一个新的算法——$SPFA$

4. $SPFA(shortest$ $past$ $fast$ $algorithm)$

• $SPFA$等于队列优化的$Bellman-Ford$算法
• 本质上还是迭代——每更新一次就考虑入队
• 稀疏图上$O(kN)$，稠密图上退化到$O(N^2)$
• 可以应用于有向负权图
• 算法实现：它采用了队列和松弛技术。先将源点加入队列。然后从队列中取出一个点(此时该点为源点)，对该点的邻接点进行松弛，如果该邻接点松弛成功且不在队列中，则把该点加入队列。如此循环往复，直到队列为空，则求出了最短路径
• 判断有无负环：如果某个点进入队列的次数超过$N$次则存在负环 ( 存在负环则无最短路径,如果有负环则会无限松弛,而一个带$n$个点的图至多松弛$n-1$次)

你理解了吗？

bool vis[MAXN];
struct edge{
	int to , w , nxt;
}a[MAXN];
void add(int u , int v , int w) {
	a[++ cnt].w = w;
	a[cnt].to = v;
	a[cnt].nxt = head[u];
	head[u] = cnt;
}
struct node {
	int id , w;
	node(int iid , int ww) {
		id = iid;
		w = ww;
	}
};
queue<node> q;
int SPFA() {
	memset(dis , 0x3f, sizeof(dis));
	dis[s] = 0;
	q.push(node(s , 0));
	while(!q.empty()) {
		int u = q.front().id;
		q.pop();
		vis[u] = 0;
		for (int i = head[u] ; i ; i = a[i].nxt) {
			int v = a[i].to , w = a[i].w;
			if (dis[v] > dis[u] + w) {
				dis[v] = dis[u] + w;
				if (!vis[v]) {
					vis[v] = 1;
					q.push(node(v , dis[v]));
				}
			}
		}
	}
	return 1;
}

最小生成树

引入：树有这样一个定理：$N$个点用$N-1$条边连接成一个连通块，形成的图形只可能是树，叫做生成树！因此，一个有$N$个点的连通图，边一定$\ge N-1$条

概念：最小生成树$(Minimum$ $Spanning$ $Trees$简称$MST)$求带权无向图的一棵子树，包含$N$个点，$N-1$条边，边权之和最小

$Prim$算法

算法思路：

1. 以任意一个点为基准点
2. 节点分为两组：
   1）在$MST$上到基准点的路径已经确定的点
   2）尚未在$MST$中与基准点相连的点
3. 不断从第2组中选择与第1组距离最近的点加入第1组，类似于$Dijkstra$，本质也是贪心，$O(N^2)$

算法描述：

总体思想：也使用“蓝白点”思想，白点代表已进入最小生成树的点，蓝点代表未进入最小生成树的点

以1为起点生成最小生成树，$min[v]$表示蓝点$v$与白点相连的最小边权，$MST$ 表示最小生成树的权值之和

$(a)$初始化：$min[v]=\infty (v\ne 1)$;$min[1]=0;MST=0;$
$(b)for(i=1;i<=n;i++)$

$for$寻找$min[u]$,最小的蓝点$u$;
②将$u$标记为白点;
③$MST+=min[u]$;
④$for$与白点$u$相连的所有蓝点v(可暴力枚举，更好的是求$vector$的$size$)
$if(w[u][v]<min[v])$ $min[v]=w[u][v];$

$(c)$算法结束：MST即为最小生成树的权值之和

这次ppt的图片不是一个整体，太难盗图了，就直接上代码吧

void Prim() {
	for (int i = 1 ; i <= n ; i ++) d[i] = 0x3f3f3f3f3f3f;
	d[1] = 0;
	q.push(node(1 , 0));
	while(!q.empty()) {
		int u = q.top().id;
		q.pop();
		if (vis[u]) continue;
		vis[u] = 1;
		for (int i = head[u] ; i ; i = a[i].nxt) {
			ll v = a[i].to;
			ll w = a[i].w;
			if (w < d[v] && !vis[v]) {
				d[v] = w;
				q.push(node(v , d[v]));
			}
		}
		MST += d[u];
	}
}

$Kruskal$算法

算法思路：

1. 利用并查集，起初每个点各自构成一个集合
2. 所有边按照边权从小到大排序，依次扫描
3. 若当前扫描到的边连接两个不同的点集就合并
4. 本质也是贪心，$O(MlogN)$
5. 与Prim算法相比，没有基准点，该算法是不断选择两个距离最近的集合进行合并的过程

算法描述：

$(a)$初始化

①写出并查集三件套
②将边按权值大小排序

$(b)

①$if$两个点的祖先不是同一个,将两个点合并，并累加权值;
②如果图已经联通，即$tot==n$跳出

©算法结束：$MST$即为最小生成树的权值之和。

依旧很难盗图，无语

void kruscal() {
	int tot = 0;
	for (int i = 1 ; i <= m ; i ++) {
		if (UnionSet(a[i].u , a[i].v)) {
			MST += a[i].w;
			tot ++;
			if (tot == n) return;
		}
	}
}