「Fibonacci Additions」Solution

题意简述

给定两个长度为 $n$ 序列 $a,b$，以及模数 $MOD$。
试支持以下操作：
给定 $l,r$，对于 $\forall i\in [l,r],a[i]\leftarrow a[i]+f[l-i+1]$，其中 $f$ 为斐波那契数列（$f_1=f_2=1$）。
进行 $q$ 次操作，每次对 $a$ 或者 $b$ 进行操作，回答每次操作后 $a$ 与 $b$ 数组在模意义下是否相等

• $1\le n,q\le 3\times 10^5，1\le MOD\le 10^9+7$

思路

难度 2700，很好的一道差分题。

考虑转化题意，不妨令 $c_i=a_i-b_i$，则当且仅当 $\forall i\in [1,n]$ 都有 $c_i=0$，$a$ 与 $b$ 才相等。即判断 $c$ 中 $0$ 元素的个数是否等于 $n$。
注意到操作很棘手，$c$ 序列难以直接维护，考虑差分。

此题需要对差分有很深入的理解，所以给出几点 $\text{tips}$：

• Hint1：差分数组与 $c$ 数组有什么关系？
• Hint2：差分数组本质是在维护什么？
• Hint3：该如何定义差分数组才能简化计算？

差分数组实质上是在维护一个增量序列。对于此题，注意到斐波那契数列有强递推式 $f_i=f_{i-1}+f_{i-2}$，因此，很自然地想到通过差分抵消中间项，形式化定义如下：

$$d_i=c_i-c_{i-1}-c_{i-2}$$

那么，每次操作就等价于：
$$d_l\leftarrow d_l+f_1，d_{r+1}\leftarrow d_{r+1}-f_{r-l}-f_{r-l+1}，d_{r+2}\leftarrow d_{r+2}-f_{r-l+1}$$

显然差分数组 $d$ 中元素全为 $0$ 等价于 $a$ 与 $b$ 相等。
所以对于每次操作 $O(1)$ 修改 $d$ 数组，用计数器统计 $0$ 元素的个数即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
const int MAXN = 3e5 + 5;
using namespace std;
int a[MAXN] , cf[MAXN] , n , q , MOD , l , r , f[MAXN] , tmp;
char opt;
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr) , cout.tie(nullptr);
    cin >> n >> q >> MOD;
    f[1] = f[2] = 1;
    for (int i = 1 ; i <= n ; i ++) {
        cin >> a[i];
        if (i >= 3) f[i] = (f[i - 1] + f[i - 2]) % MOD;
    }
    for (int i = 1 , x ; i <= n ; i ++) cin >> x , a[i] -= x;
    for (int i = 1 ; i <= n ; i ++) {
        cf[i] = a[i] - a[i - 1] - a[i - 2];
        cf[i] = (cf[i] + MOD) % MOD;
        tmp += (cf[i] == 0);
    }
    while(q --) {
        cin >> opt >> l >> r;
        int pre = (cf[l] == 0) + (cf[r + 1] == 0 && r < n) + (cf[r + 2] == 0 && r < n - 1);
        if (opt == 'A') {
            cf[l] = (cf[l] + 1) % MOD , cf[r + 1] = (cf[r + 1] - f[r - l] - f[r - l + 1]) , cf[r + 2] = (cf[r + 2] - f[r - l + 1]);
            cf[r + 1] = (cf[r + 1] % MOD + MOD) % MOD , cf[r + 2] = (cf[r + 2] % MOD + MOD) % MOD;
        } else {
            cf[l] = (cf[l] - 1) % MOD , cf[r + 1] = (cf[r + 1] + f[r - l] + f[r - l + 1]) , cf[r + 2] = (cf[r + 2] + f[r - l + 1]);
            cf[l] = (cf[l] + MOD) % MOD , cf[r + 1] = cf[r + 1] % MOD , cf[r + 2] = cf[r + 2] % MOD;
        }
        int lst = (cf[l] == 0) + (cf[r + 1] == 0 && r < n) + (cf[r + 2] == 0 && r < n - 1);
        tmp += (lst - pre);
        if (tmp ^ n) puts("NO");
        else puts("YES");
    }
	return 0;
}