CH0503 奇数码问题

Description

你一定玩过八数码游戏，它实际上是在一个3*3的网格中进行的，1个空格和1~8这8个数字恰好不重不漏地分布在这3*3的网格中。
例如：
5 2 8
1 3 _
4 6 7
在游戏过程中，可以把空格与其上、下、左、右四个方向之一的数字交换（如果存在）。
例如在上例中，空格可与左、上、下面的数字交换，分别变成：
5 2 8 5 2 _ 5 2 8
1 _ 3 1 3 8 1 3 7
4 6 7 4 6 7 4 6 _

奇数码游戏是它的一个扩展，在一个n*n的网格中进行，其中n为奇数，1个空格和1~n*n-1这n*n-1个数恰好不重不漏地分布在n*n的网格中。
空格移动的规则与八数码游戏相同，实际上，八数码就是一个n=3的奇数码游戏。

现在给定两个奇数码游戏的局面，请判断是否存在一种移动空格的方式，使得其中一个局面可以变化到另一个局面。

Solution

结论

这是一个结论题。此处不提供证明。结论摘自《算法竞赛进阶指南》

奇数码游戏两个局面可达，当且仅当两个局面下网格中的数依次写成1行n*n - 1个元素的序列后（不含空格），逆序对个数的奇偶性相同。

上述结论还可以扩展到n位偶数的情况，此时两个局面可达，当且仅当两个局面对应网格写成序列后，“逆序对数之差”和“两个局面下空格所在的行数之差”奇偶性相同。

n*m网格（n,m>=2）也服从上述两个结论之一（根据列数奇偶性分情况讨论）

逆序对

逆序对有两种求法，一种是在归并排序时顺便统计，一种是用树状数组求逆序对。

//归并排序
void merge(int a[],int l,int r){
  int mid = (l + r) / 2;
  int i = l, j = mid + 1;
  for (int k = l; k <= r; k++)
    if(j > r || (i <= mid && a[i] < a[j])) b[k] = a[i++];
    else b[k] = a[j++],cnt += mid - i + 1;
  for (int k = l; k <= r; k++)
    a[k] = b[k];
}
void merge_sort(int a[],int l,int r){
  if(l >= r ) return;
  int mid = (l + r) / 2;
  merge_sort(a, l, mid);
  merge_sort(a, mid + 1, r);
  merge(a, l, r);
}

//树状数组求逆序对
#define lowbit(x) x&(-x)
int a[N];
int ask(int x){
  int ans = 0;
  for(; x; x -= lowbit(x))
    ans += a[x];
  return ans;
}
void add(int x,int v){
  for(; x <= N; x += lowbit(x))
    a[x] += v;
}
int work(int n){//1-n的序列x
  int ans = 0;
  for(int i = n; i; i--){
    ans += ask(x[i] - 1);
    add(x[i],1);
  }
  return ans;
}

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int b[250010], n[250010], m[250010],cnt;
void merge(int a[],int l,int r){
  int mid = (l + r) / 2;
  int i = l, j = mid + 1;
  for (int k = l; k <= r; k++)
    if(j > r || (i <= mid && a[i] < a[j])) b[k] = a[i++];
    else b[k] = a[j++],cnt += mid - i + 1;
  for (int k = l; k <= r; k++)
    a[k] = b[k];
}
void merge_sort(int a[],int l,int r){
  if(l >= r ) return;
  int mid = (l + r) / 2;
  merge_sort(a, l, mid);
  merge_sort(a, mid + 1, r);
  merge(a, l, r);
}
int main(){
  int l = 0;
  while(cin >> l){
    memset(m, 0, sizeof(m));
    memset(n, 0, sizeof(n));
    int tot = 0;
    for (int i = 1; i <= l * l; i++)
    {
      int a = 0;
      cin >> a;
      if (a)
        n[++tot] = a;
   }
    tot = 0;
    for (int i = 1; i <= l * l; i++){
      int a = 0;
      cin >> a;
      if(a) m[++tot] = a;
    }
    int a1 = 0, a2 = 0;
    cnt = 0;
    merge_sort(n, 1, l * l - 1);
    a1 = cnt;  cnt = 0;
    merge_sort(m, 1, l * l - 1);
    a2 = cnt;
    cout << (((abs(a1 - a2) % 2) == 0) ? "TAK" : "NIE") << endl;
  }
  return 0;
}