[bzoj3032][TYVJ P1924]七夕祭(环形均分纸牌，货仓选址)

题意

七夕节因牛郎织女的传说而被扣上了「情人节」的帽子。
于是TYVJ今年举办了一次线下七夕祭。
Vani同学今年成功邀请到了cl同学陪他来共度七夕，于是他们决定去TYVJ七夕祭游玩。
TYVJ七夕祭和11区的夏祭的形式很像。
矩形的祭典会场由N排M列共计N×M个摊点组成。
虽然摊点种类繁多，不过cl只对其中的一部分摊点感兴趣，比如章鱼烧、苹果糖、棉花糖、射的屋……什么的。
Vani预先联系了七夕祭的负责人zhq，希望能够通过恰当地布置会场，使得各行中cl感兴趣的摊点数一样多，并且各列中cl感兴趣的摊点数也一样多。
不过zhq告诉Vani，摊点已经随意布置完毕了，如果想满足cl的要求，唯一的调整方式就是交换两个相邻的摊点。
两个摊点相邻，当且仅当他们处在同一行或者同一列的相邻位置上。
由于zhq率领的TYVJ开发小组成功地扭曲了空间，每一行或每一列的第一个位置和最后一个位置也算作相邻。
现在Vani想知道他的两个要求最多能满足多少个。
在此前提下，至少需要交换多少次摊点。

输入格式

第一行包含三个整数N和M和T，T表示cl对多少个摊点感兴趣。
接下来T行，每行两个整数x, y，表示cl对处在第x行第y列的摊点感兴趣。

输出格式

首先输出一个字符串。
如果能满足Vani的全部两个要求，输出both；
如果通过调整只能使得各行中cl感兴趣的摊点数一样多，输出row；
如果只能使各列中cl感兴趣的摊点数一样多，输出column；
如果均不能满足，输出impossible。
如果输出的字符串不是impossible， 接下来输出最小交换次数，与字符串之间用一个空格隔开。

数据范围

\(1≤N,M≤100000,\)
\(0≤T≤min(N∗M,100000),\)
\(1≤x≤N,\)
\(1≤y≤M\)

首先可以发现，每一行进行交换不会影响到每一列的摊位，同理同一列进行交换也不会影响到每一行的摊位。所以我们可以分开解决行和列。我们拿行来举例。
我们要通过交换邻项，使每一行的摊位数都相同，这个摊位数等于\(T/n\),这就是一个环形的均分纸牌问题。
我们先考虑普通的均分纸牌。
设a[i]为i行的摊位数，我们把每一个a[i]减去\(T/n\)，设s为a的前缀和。
那么答案为$$\sum_{i = 1}^n{|s[i]|}$$
对于环形的均分纸牌，我们可以枚举断点，把环断开，这样问题就重新成为了普通的均分纸牌。
假如断点为k，那么断开后的环大概长这样（->），\(k+1,k+2... n,1 ,2, 3, 4 ... k - 1,k\)
这时候前缀和就变了样：
\(原来-------现在\)
\(s[k+1]-----s[k+1]-s[k]\)
\(s[k+2]-----s[k+2]-s[k]\)
\(.......................\)
\(s[n]-------s[n]-s[k]\)
\(s[1]-------s[n]-s[k]+s[1]\)
\(s[2]-------s[n]-s[k]+s[2]\)
因为a减掉了\(T/n\)，所以s[n] = 0
那么所需的交换次数就是$$\sum_{i = 1}^n{|s[i]-s[k]|}$$
上式何时最小？
这就是另一个经典问题货仓选址，当s[k]是s的中位数时，答案最小。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

ll x[100010],y[100010];
ll sum[100010];
ll n,m,t;
int main(){
	cin >> n >> m >> t;
	for(int i = 1; i <= t; ++i){
		int xx,yy;
		scanf("%d%d",&xx,&yy);
		x[xx]++; y[yy]++;
	}
	ll ans1 = 0,ans2 = 0;
	int flag1 = 1,flag2 = 1;
	ll ave = 0;
	if(t % n == 0){
		ave = t / n;
		for(int i = 1; i <= n; ++i)
			sum[i] = sum[i - 1] + x[i] - ave;
		sort(sum + 1,sum + n + 1);
		ll mid = (n + 1) >> 1;
		for(int i = 1; i <= n; ++i)
			ans1 += abs(sum[i] - sum[mid]);
	}
	else flag1 = 0;
	if(t % m == 0){
		ave = t / m;
		for(int i = 1; i <= m; ++i)
			sum[i] = sum[i - 1] + y[i] - ave;
		sort(sum + 1,sum + m + 1);
		ll mid = (m + 1) >> 1;
		for(int i = 1; i <= m; ++i)
			ans2 += abs(sum[i] - sum[mid]);
	}
	else flag2 = 0;
	if(flag1 && flag2) cout << "both ";
	else if(flag1) cout << "row ";
	else if(flag2) cout << "column ";
	else cout << "impossible" << endl;
	if(flag1 || flag2) cout << ans1 + ans2 << endl;
	return 0;
}