LeetCode 每日一题 837. 新21点

爱丽丝参与一个大致基于纸牌游戏 “21点” 规则的游戏，描述如下：

爱丽丝以 0 分开始，并在她的得分少于 K 分时抽取数字。 抽取时，她从 [1, W] 的范围中随机获得一个整数作为分数进行累计，其中 W 是整数。 每次抽取都是独立的，其结果具有相同的概率。

当爱丽丝获得不少于 K 分时，她就停止抽取数字。 爱丽丝的分数不超过 N 的概率是多少？

示例 1：

输入：N = 10, K = 1, W = 10
输出：1.00000
说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。

示例 2：

输入：N = 6, K = 1, W = 10
输出：0.60000
说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。
在 W = 10 的 6 种可能下，她的得分不超过 N = 6 分。

示例 3：

输入：N = 21, K = 17, W = 10
输出：0.73278

提示：

1. 0 <= K <= N <= 10000
2. 1 <= W <= 10000
3. 如果答案与正确答案的误差不超过 10^-5，则该答案将被视为正确答案通过。
4. 此问题的判断限制时间已经减少。

来源：力扣（LeetCode）
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DP 即可,但 \(O(N^2)\) 会 TLE。
p[i]表示得到 i 的概率，有 p[0] = 1,然后枚举在 i 时抽到的值 j 即可,有 p[i + j] += p[i] * 1.0 / W;

class Solution {
 public:
  double new21Game(int N, int K, int W) {
    double p[K + W];
    memset(p, 0, sizeof(p));
    p[0] = 1;
    for(int i = 0; i < K; ++i) {
      for(int j = 1; j <= W; j++)
        p[i + j] += p[i] * 1.0 / W;
      //for(auto j:p) cout << j << " " ;cout <<endl;
    }
    //for(auto i:p) cout << i << " ";cout <<endl;
    double ans(0);
    for(int i = 0; i < W && i + K <= N; ++i)
      ans += p[i + K];
    return ans;
  }
};

考虑优化。要得到 i ，

• i<K => 必然由它前面的 W 个前驱转移而来（不足 W 个则取完）。
• i>=K => 必然由它前面的 W 个前驱和区间 [1,K) 的交转移而来

显然，这里可以 滑动窗口 ，将 \(O(KW+N)\) 优化到 \(O(K+W+N)\)

class Solution {
 public:
  double new21Game(int N, int K, int W) {
    double p[K + W];
    double s = 1.0;
    memset(p, 0, sizeof(p));
    p[0] = 1;
    for(int i = 1; K && i < K + W; ++i) {
      if(i < K) {
        p[i] = s / W;
        s += p[i];
      } else {
        p[i] = s / W;
      }
      if(i >= W)
        s -= p[i - W];
    }
    //for(auto i:p) cout << i << " ";cout <<endl;
    double ans(0);
    for(int i = 0; i < W && i + K <= N; ++i)
      ans += p[i + K];
    return ans;
  }
};