Burnside引理与Polya定理
置换
\[f =
\begin{bmatrix}
1 & 2 & …… & i &…… & n \\
a_1 & a_2 & …… & a_i & …… & a_n
\end{bmatrix}
\]
简单来说就是对元素进行重排列。$1 \rightarrow a_1 $, \(2 \rightarrow a_2\),\(i \rightarrow a_i\) ……，\(n \rightarrow a_n\)
- 置换可以分解成若干循环
- 如果一个状态经过置换 \(f\) 后跟原来相同，称为不动点 ,即 \(s[1] = s[a_1],s[2] = s[a_2],……,s[i] = s[a_i],……,s[n] = s[a_n]\)
- 本质不同的方案数 ，一般是指等价类的数目。等价关系通常是一个置换集合 \(F\) ,满足等价关系的元素属于同一等价类.如果一个置换能把其中一个方案映射到另一个方案，则二者是等价的。
\(Burnside\) 引理
对于一个置换 \(f\) ,若一个染色方案 \(s\) 经过置换后不变，称 \(s\) 为 \(f\) 的不动点。将 \(f\) 的不动点数目记为 \(C(f)\) ，则可以证明等价类数目为所有 \(C(f)\) 的平均值,即本质不同的方案数。
\[l = \frac{1}{|G|}[c_1(a_1) + c_2(a_2) + …… + c_i(g_i) + …… + c_n(g_n)]
\]
其中，\(|G|\) 代表置换个数。
\(burnside\) 是一种计数方法，用来计算含有不等价类的数量,其键是找好 置换群 。
\(Polya\) 定理
利用 \(Burnside\) 引理要首先列出所有\(m^n\) 种可能的染色方案，然后找出在每个置换下保持不变的方案数。显然当 \(m\) 或 \(n\) 很大的时候，这个方法会非常繁琐， 这时就需要用到 \(polya\) 定理。
\(Polya\) 定理：记置换 \(G={f_1,...,f_k}\) ，在 \([1,m]^n\) 上，不同的向量数目为
\[L=\frac{\Sigma ^k_{i=1}m^{l(f_i)})}{|G|}
\]
其中 \(l(a_i)\) 表示置换 \(a_i\) 可以展开为循环的节数, \(m^{l(f_i)} = C(f_i)\) ;\(G\) 中不含重复的置换。
参考链接
解题报告 (五) Burnside引理和Polya定理 Poly 清晰，题目列表丰富- Burnside引理与Polya定理 Burnside 清晰
- Polya定理 证明，我太菜没懂
