LGV引理

在一张有向无环图 DAG 中，有边权，给定起点点集 A，终点点集 B，且 A,B 中的点数一致。
定义 P 表示 DAG 中的一条路径。
定义 w(P) 表示路径 P 上的边权乘积。
定义 e(a,b) 表示 a 到 b 的所有路径的边权乘积之和，即 $e(a,b)=\sum _{P_i\in (a\to b)}w(P_i)$
定义一组 A 到 B 的不相交路径 S：$S_i$ 表示一条从 $A_i$ 到 $B_{\sigma (S{)}_i}$ 的路径，对于 i 不等于 j，$S_i$ 与 $S_j$ 没有交点。
其中 $\sigma (P)$ 是一个排列。
定义 $sgn(\sigma (P))$ 表示排列 $\sigma (P)$ 的逆序对数量。
定义方阵 $M$：
$M=\left[\begin{array}{cccc}e(A_1,B_1)& e(A_1,B_2)& \cdots & e(A_1,B_n)\\ e(A_2,B_1)& e(A_2,B_2)& \cdots & e(A_2,B_n)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ e(A_n,B_1)& e(A_n,B_2)& \cdots & e(A_n,B_n)\end{array}\right]$
$|M|=\sum _{S:A->B}(-1{)}^{sgn(\sigma (S))}\prod _{i=1}^{n}w(S_i)$