LGV引理

在一张有向无环图 DAG 中，有边权，给定起点点集 A，终点点集 B，且 A,B 中的点数一致。
定义 P 表示 DAG 中的一条路径。
定义 w(P) 表示路径 P 上的边权乘积。
定义 e(a,b) 表示 a 到 b 的所有路径的边权乘积之和，即 \(e(a,b)=\sum_{P_i\in (a\to b)}w(P_i)\)
定义一组 A 到 B 的不相交路径 S：\(S_i\) 表示一条从 \(A_i\) 到 \(B_{\sigma(S)_i}\) 的路径，对于 i 不等于 j，\(S_i\) 与 \(S_j\) 没有交点。
其中 \(\sigma(P)\) 是一个排列。
定义 \(sgn(\sigma(P))\) 表示排列 \(\sigma(P)\) 的逆序对数量。
定义方阵 \(M\)：
\(M = \begin{bmatrix}e(A_1,B_1)&e(A_1,B_2)&\cdots&e(A_1,B_n)\\ e(A_2,B_1)&e(A_2,B_2)&\cdots&e(A_2,B_n)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ e(A_n,B_1)&e(A_n,B_2)&\cdots&e(A_n,B_n)\end{bmatrix}\)
\(|M|=\sum_{S:A->B}(-1)^{sgn(\sigma(S))}\prod_{i=1}^{n}w(S_i)\)