群论

我也不知道为什么要学这玩意
置换：令 $X$ 是一个非空有限集合，把 $X$ 到自身的一一映射成为一个“置换”。
记为 $\delta =\left[\begin{array}{c}{a}_1,a_2,\dots ,a_n\\ b_1,b_2,\dots ,b_n\end{array}\right]$，其中 $b$ 是 $a$ 的一组排列。
置换的集合：对于 $n$ 个元素的集合 $X$，其置换有 $n!$ 个，所有置换构成的集合记为 $S_n$
置换的简记方式：把循环节放在一起：
例，$f=\left[\begin{array}{c}1,2,3,4,5,6\\ 2,3,1,6,4,5\end{array}\right]=[1,2,3][4,6,5](1\to 2\to 3\to 1,4\to 6\to 5\to 4)$
置换的合成运算（composition）
设有两个置换 $f,g$，则 $g\circ f(k)=g(f(k))$，$g=\left[\begin{array}{c}1,2,\dots ,n\\ j_1,j_2,\dots ,j_n\end{array}\right]$，$f=\left[\begin{array}{c}1,2,\dots ,n\\ i_1,i_2,\dots ,i_n\end{array}\right]$
则 $g\circ f=j_{i_k}$
性质：

1. 置换的合成运算没有交换律
2. 有结合律

恒等置换（单位元）：
设 $\tau =\left[\begin{array}{c}1,2,\dots ,n\\ 1,2,\dots ,n\end{array}\right]$
对于置换 $f$，存在置换 $g$ 是的 $f\circ g=\tau$，称 $g$ 是 $f$ 的逆元，记为 $f^{-1}$

置换群：
对于 $n$ 个元素的置换集合 $S_n$，有自己 $G\in S_n$，且满足：

1. 合成运算的封闭性。$G$ 中的任意两个置换 $f$ 和 $g$ 的合成运算的结果也在 $G$ 中。
2. 单位元在 $G$ 中。
3. $G$ 中任意置换 $f$ 的逆元也在 $G$ 中。

比如说，一个正方形（4个顶点可以染色）2个颜色进行染色，可以旋转的方案数。


Burnside 如何计数：总染色方案=不变元的和除以旋转的种类数=(16+2+4+2)/4=6
对于置换群 $G$，定义 $cn{t}_f$ 表示置换 $f$ 中不变元的个数，那么 $G$ 中的不等价种类（染色方案）（比如，转0度和360度等价）为 $\frac{1}{|G|}\sum _{f\in G}cn{t}_f$

例题1：1...n放置在环中，允许旋转的方案数：

1. n种旋转
2. 不旋转时，不变元数量是 n!，其余都是0，所以答案是 n!/n=(n-1)!

例题2：例1加上反转，n>=3，等价于2n中变换，所以除以2

Polya计数定理：
设有置换群 $G=f_1,f_2,...,f_n$，用 $m$ 种颜色对 $n$ 个点染色，则不等价种类数为：
$\frac{1}{G}\sum _{f\in G}{m}^{cn{t}_f}$，其中 $cn{t}_f$ 表示 $f$ 的循环节个数。

仍然以上面的正方形题为例：