生成函数

使用场景：无穷级数与函数的对应。

无穷级数：一个无限的数列的和。

生成函数的应用：

1. 求组合
2. 求排列

普通型生成函数：
\(g(x)=\sum_{i=0}^\infty a_ix_i\)

常见的普通型生成函数：
\(\sum_{i=0}^\infty x^i=\frac{1}{1-x}\)

牛顿二项式定理：
若 \(0\le|a|<|b|\)，且 \(n\) 是实数，则有 \((1+x)^n=\sum_{i=0}^\infty C_n^i x^i\)

\(\frac{1}{(1-x)^n}=\sum_{i=0}^\infty C_{n+i-1}^i x^i\)

指数型生成函数：
设 \(g(x)=\sum_{i=0}^na_i\frac{x^i}{i!}\)

\(e^x=\sum_{i=0}^\infty \frac{x^i}{i!}\)

主要的：