BSGS（大步小步算法）学习笔记

解决高次同余问题。

$a^x\equiv b(\mathrm{mod}p)$，其中 $a$ 与 $p$ 同余。

这个形式与欧拉定理类似。

思想：meet in the middle（折半搜索）。

具体的，令 $x=A\times t-B$，且 $x$ 一定在 $[0,\varphi (p))$ 的范围内。但是 $p$ 是质数时复杂度还是会爆炸。

将 $x=A\times t-B$ 带入可得，$a^{At-B}\equiv b(\mathrm{mod}p)$

移一下，$a^{At}\equiv a^{B}b(\mathrm{mod}p)$

取 $t=\sqrt{p}$，那么直接分别枚举 $A,B$，把每次的 $A$ 枚举到算出来的值用 map 映射到对应的 $A$ 上去，再枚举 $B$ 看看能不能对应即可。

扩展 BSGS（exBSGS）：

$a^x\equiv b(\mathrm{mod}p),x>0$