BSGS（大步小步算法）学习笔记

解决高次同余问题。

\(a^x\equiv b(\mod p)\)，其中 \(a\) 与 \(p\) 同余。

这个形式与欧拉定理类似。

思想：meet in the middle（折半搜索）。

具体的，令 \(x=A\times t-B\)，且 \(x\) 一定在 \([0,\phi(p))\) 的范围内。但是 \(p\) 是质数时复杂度还是会爆炸。

将 \(x=A\times t-B\) 带入可得，\(a^{At-B}\equiv b(\mod p)\)

移一下，\(a^{At}\equiv a^Bb(\mod p)\)

取 \(t=\sqrt p\)，那么直接分别枚举 \(A,B\)，把每次的 \(A\) 枚举到算出来的值用 map 映射到对应的 \(A\) 上去，再枚举 \(B\) 看看能不能对应即可。

扩展 BSGS（exBSGS）：

\(a^x\equiv b(\mod p),x>0\)