线性基&线性空间 学习笔记

Part 1 基础概念

向量：一行的矩阵或一行的矩阵

线性空间：由一组向量通过线性组合（相加和乘系数）能够表示的向量的集合。

线性相关 $and$ 线性无关：若一组向量中存在一个向量能够由其余向量线性组合得到，则称这组向量线性相关。

线性空间的基底：一组线性无关的、数量最多的向量（白话）
极大线性无关的生成子集（正经学术）

线性空间的基底不唯一。

线性空间的维度：一组基底的向量的个数。

矩阵的秩：化成最简矩阵时，非零行向量或者非零列向量的个数。

Part 2 实现

方式：高斯消元

Part 3 线性基

由一组整数通过线性组合能够异或得到的整数集合。

线性相关 $and$ 线性无关：若一组整数中存在一个整数能够由其余整数异或得到，则称这组向量线性相关。

线性基：一组个数最大的线性无关的整数集合。

一个异或空间的线性基不是唯一的。

线性基的整数个数相同。

线性基中数的最高位位置互不相同。（$in$二进制)

线性基的整数不可能异或得到 $0$。

应用场景：

• 求一组整数异或得到第 $k$ 小。
• 求一个整数是否能被其他整数异或得到。

构造法求线性基：

• 从 $a_1$ 开始，尝试将每个元素插入线性基的集合。
• 从最高位向最低位枚举，若到第 $j$ 位还没 $1$，但 $a_i$ 的第 $j$ 位有，则插入集合 $p_i$ 否则 $x=x\text{异或}{p}_j$