Atcoder Grand Contest 001 F - Wide Swap 题解
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题意
给定一个长度为 \(N\) ，正好包含 \(1\) ~ \(N\) 的序列 \(P_1 \cdots P_N\) ，你可以执行以下操作任意次：
- 选取两个下标 \(i,j\) ，当满足 \(j - i \geq K\) 且 \(|P_i-P_j| = 1\) 时，你可以交换 \(P_i\) 和 \(P_j\) 的值。
求最终可能得到的字典序最小的排列。
题目分析
很好的一道题。
逆置换
现在的题面难以下手，因此不妨设 \(Q\) 为 \(P\) 的逆置换，即 \(Q_{Pi} = i\) ，于是题面转化为如果 \(|Q_i - Q_{i \pm 1}| \geq K\) ，那么就可以交换 \(i\) 与 \(i \pm 1\) 这两个相邻的元素。
我觉得这一点的思想类似于多维偏序的问题，前者是由多维向低维的转化，而本题则是对判断条件由多到少的转化。
同时，要使 \(P\) 字典序最小，等价于要使 \(Q\) 字典序最小，在此给出证明：
假设当前要填的最小数为 \(j\) ，现有位置 \(i\) 与 \(i'\) ，且 \(i < i'\) ，对 \(Q_i = j\) 与 \(Q_{i'} = j\) ，当还原为原序 \(P\) 时，有 \(P_j = i\) 与 \(P_j = i'\) ，显然前者的字典序小于后者，得证。
反向拓扑排序
考虑 \(Q\) 中的两个值 \(Q_i\) 与 \(Q_j\) ，不难发现当 \(|Q_i - Q_j| < K\) 时， \(Q_i\) 与 \(Q_j\) 的相对位置（即先后顺序）无论如何操作都不会发生变化，因为序列 \(Q\) 中仅有相邻的两个数可能发生交换，所以 \(Q_i\) 与 \(Q_j\) 的相对位置要发生改变，两者必须交换一次，否则的话它们的关系就被锁死了，也就是上述说的相对位置固定了。
因此对某个 $Q_i (1 \leq i \leq N) $ ，对其后方的 \(Q_j (i < j \leq N)\) ，有：
- 当 \(Q_j \in [1,Q_i - k] \bigcup [Q_i + k,n]\) ，我们无法确定二者的相对位置关系
- 当 \(Q_j \in [Q_i - k + 1,Q_i - 1] \bigcup [Q_i + 1,Q_i + k + 1]\) ， \(Q_j\) 必排在 \(Q_i\) 的后方
相对位置无法改变不难想到就是拓扑排序，而要求较小的数下标尽可能小更是经典问题，建反图跑拓扑排序：
线段树优化建图
现在我们得到了一个朴素的 \(O(nk)\) 算法：对于每个 \(Q_i\) ，向其后方所有 \(Q_j \in [Q_i - k + 1,Q_i - 1] \bigcup [Q_i + 1,Q_i + k + 1]\) 连一条有向边 \(Q_j \rightarrow Q_i\) （注意是反向建图），然后跑一遍拓扑序就能出答案。
但实际上，由于传递性（ \(a\rightarrow b , b\rightarrow c \Rightarrow a \rightarrow c\) ），我们是没有必要把边连满的，所以我们从后往前枚举，对于当前位置的 \(Q_i\) ,只需分别向在两个范围内最先出现的 \(Q_j\) 与 \(Q_{j'}\) 连两条边即可，因为两者的区间有重叠，所以 \(Q_j\) 与 \(Q_{j'}\) 对之后 \([Q_i - k + 1,Q_i - 1]\) 与 \([Q_i + 1,Q_i + k + 1]\) 内的点一定存在连边，从而使得 \(Q_i\) 间接地连接了区间内所有符合要求的点，时间复杂度 \(O(nlogn)\) 。
最后注意不要忘了还原成原序列。
AC代码
#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i, x, y) for (register int i = (x); i <= (y); i++)
#define down(i, x, y) for (register int i = (x); i >= (y); i--)
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 5e5 + 5;
char buf[1 << 23], *p1 = buf, *p2 = buf, obuf[1 << 23], *O = obuf;
#define getchar() (p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 1 << 21, stdin), p1 == p2) ? EOF : *p1++)
inline int read()
{
int x = 0, f = 1;
char ch = getchar();
while (!isdigit(ch))
{
if (ch == '-')
f = -1;
ch = getchar();
}
while (isdigit(ch))
{
x = x * 10 + ch - '0';
ch = getchar();
}
return x * f;
}
int n, k;
int inv[maxn], deg[maxn], ans[maxn];
std::vector<int> e[maxn];
std::priority_queue<int> q;
#define lson k << 1
#define rson k << 1 | 1
struct node
{
int l, r, min;
} tree[maxn << 2];
inline void pushup(int k) { tree[k].min = std::min(tree[lson].min, tree[rson].min); }
void build(int k, int l, int r)
{
tree[k].l = l, tree[k].r = r;
if (l == r)
{
tree[k].min = inf;
return;
}
int mid = (l + r) >> 1;
build(lson, l, mid);
build(rson, mid + 1, r);
pushup(k);
}
void update(int k, int p, int x)
{
if (tree[k].l == tree[k].r)
{
tree[k].min = x;
return;
}
int mid = (tree[k].l + tree[k].r) >> 1;
p <= mid ? update(lson, p, x) : update(rson, p, x);
pushup(k);
}
int query(int k, int l, int r)
{
if (l > r)
return inf;
if (l <= tree[k].l && tree[k].r <= r)
return tree[k].min;
int mid = (tree[k].l + tree[k].r) >> 1;
if (r <= mid)
return query(lson, l, r);
else if (l > mid)
return query(rson, l, r);
else
return std::min(query(lson, l, mid), query(rson, mid + 1, r));
}
void topo()
{
int cnt = n;
rep(i, 1, n) if (!deg[i]) q.push(i);
while (!q.empty())
{
int u = q.top();
q.pop();
inv[cnt--] = u;
for (auto v : e[u])
{
--deg[v];
if (!deg[v])
q.push(v);
}
}
}
int main(int argc, char const *argv[])
{
n = read(), k = read();
rep(i, 1, n) inv[read()] = i;
build(1, 1, n);
down(i, n, 1)
{
//分别找两个范围内最先出现的点
int pos = query(1, inv[i] + 1, std::min(inv[i] + k - 1, n));
if (pos ^ inf)
//反向建图，反向连边
e[inv[pos]].push_back(inv[i]), ++deg[inv[i]];
pos = query(1, std::max(1, inv[i] - k + 1), inv[i] - 1);
if (pos ^ inf)
e[inv[pos]].push_back(inv[i]), ++deg[inv[i]];
//加入当前点的贡献
update(1, inv[i], i);
}
topo();
//还原成原序列
rep(i, 1, n) ans[inv[i]] = i;
rep(i, 1, n) printf("%d\n", ans[i]);
return 0;
}
