机器学习之四：支持向量机推导

一、支持向量机（SVM）

支持向量机，是用于解决分类问题。为什么叫做支持向量机，后面的内容再做解释，这里先跳过。

在之前《逻辑回归》的文章中，我们讨论过，对于分类问题的解决，就是要找出一条能将数据划分开的边界。

对于不同的算法，其定义的边界可能是不同的，对于SVM算法，是如何定义其边界的？其定义方法有什么优点？将是下面要讨论的内容。

1、哪个模型更优

先来讨论一个二分类问题。

数据样本如下图所示：


其可能的划分边界可能是如下图中的蓝线、红线：


图中的蓝、红两种分类边界，都能达到分类的效果，但是哪一个效果更优？

评判一个模型的优劣，最主要的，是其对样本的泛化能力。

若有一个新样本，其二维特征位置，如下图蓝色方块所示：


两个模型，所得到的结果，显然是各不相同的，但从聚类的情况来看，该样本更偏向于“圆”的分类。

也就是说，蓝色边界所表示的模型，更有代表性。

而它，也是SVM算法所得到的模型。从直观上看，SVM确定的边界，刚好在两类样本的“中间”位置，不偏不倚。

下面接着讨论，SVM是如何确定边界的。

2、支持向量机

支持向量机的基本思想是：找到集合边缘上的若干数据（称为支持向量），用这些点找出一个平面（称为决策面），使得支持向量到该平面的距离最长。

该算法，依靠支持向量来求解边界，支持向量机这个名字，也来源于此。

以上面的样本为例，解释SVM的步聚，如下图：


如下两步：

• 找到两类样本边缘的若干个样本点，如上图中圈起来的三个样本

• 由上面的样本点，找到一个决策平面，该平面与两类样本的向量距离最长

综上所述，虽然还未涉及SVM的具体运算，但可以初步看出，支持向量机有如下优点：

• 计算量少。只使用了支持向量进行计算，而其他距离边界很远的点，其特征很明显，不会引起歧义，不用参与计算。

• 泛化能力好。因其定义的边界，距离正负样本距离是最长的，具备良好的区分效果。

二、SVM推导

本节，将讨论SVM寻找决策面的数学推理过程。

根据数据集的属性，可以将这个问题分为两个层次：

• 线性可分：数据分布简单，如上面的例子。可以找到一个超平面，直接在原始空间中将数据进行切分。

• 线性不可分：数据分布复杂，不存在这样的超平面，则通过将原始空间映射到一个高维空间，在高维空间对数据进行划分。

1、线性可分决策面

线性可分是一个最简单的分类问题，下面做推导。

1.1、首先是样本集

\[{(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)} \]

其中，\(y\) 的取值为 {+1,−1}。

1.2、决策面方程

从第一节知道，分类的手段是取得一个符合条件的决策平面。

平面可以用方程表示：

\[w^Tx + b = 0 \]

那么问题的解决，则转化为找到符合条件的 \(w\) 和 \(b\)，条件是：使得数据集边缘若干点，到这个平面的距离是最长的。

因两类数据分布在决策平面的两侧，所以，\(y = -1\) 的样本点所在区域可表示为：

\[w^Tx + b < 0 \]

同理， \(y = +1\) 的样本点所在区域为：

\[w^Tx + b > 0 \]

那么支持向量所在的平面可以表示为：

\[w^Tx + b = \pm A \]

在后面的优化中，其实\(A\)的值为多少，并不影响结果，为了方便计算，令 \(A = 1\)，即：

\[w^Tx + b = \pm 1 \]

如下图所示：


#### 1.3、计算最长距离

有了决策平面，接下来便是要计算支持向量到决策平台的距离，当该距离最长时所得到的参数，就是所需要的解。

由几何知识可知，点到平面的距离可以表示为：

\[\gamma = \frac{w^Tx+b}{{||w||}} \]

此距离称为几何距离，存在正负。

而算法的目标，就是找到一个集合 \(x\) (支持向量)，使得 \(\gamma\) 的值最小。

因 \(y\) 的取值为{+1,−1}，所以上式可以乘上一个 \(y\)，使该距离恒为正。

所以最大距离可表示为：

\[\gamma_{max} = max({\frac{y(w^Tx+b)}{{||w||}}}) \]

结合上一节的假设，支持向量所在方程：

\[w^Tx + b = \pm 1 \]

故而

\[y(w^Tx+b) = 1 \]

则最大距离简化为

\[\gamma_{max} = max({\frac{1}{{||w||}}}) \]

求解上式最大值，等同于求解下式的最小化值

\[min({\frac{1}{{2}}}||w||^2) \]

这里增加了一个1/2系数、和一个平方，是为了方便求导。一求导两者就相消了。

这个式子有还有一些限制条件，完整的写下来，应该是这样的：

\[min({\frac{1}{{2}}}||w||^2),s.t,y(w^Tx+b)\geq1 \]

s.t.后面的限制条件可以看做是一个凸多面体，我们要做的就是在这个凸多面体中找到最优解。

求解该式，可以用拉格朗日乘子法去解，使用了KKT条件的理论。

1.4、求最优解

对于具体的求解理论，这里不进行讨论，直接给出待求解式子的拉格朗日目标函数，如下，目标是让 $L(w,b,a) $ 针对 $ a $ 达到最大值：

\[L(w,b,a) =\frac{1}{{2}}||w||^2-\sum_{i=1}^n \alpha_i(y_i(w^Tx+b)-1) \]

如何求解？

\(L\) 是关于 \(w、b、a\) 三个变量的函数，要得到使得 \(L\) 最大的 \(a\)，需进行两步操作：

• 首先需要先排除掉 \(w\) 和 \(b\) 的影响，让\(L\)关于\(w、b\) 最小化。如此一来，不管 \(w、b\) 如何改变，\(L\) 都不会再变小

• 接着再让 \(L\) 关于 \(a\) 取最大值

（1）求\(L\) 关于 \(w、b\) 最小值

在可导的情况下，极值在导数为0的位置。于是令 \(L\) 关于 \(w、b\) 的偏导数为0，即：

\[\frac{\partial L}{\partial w} = 0 \]

\[\frac{\partial L}{\partial b} = 0 \]

求解上面的导数，得到：

\[w=\sum_{i=1}^n\alpha_iy_ix_i \]

\[\sum_{i=1}^n\alpha_iy_i = 0 \]

将上两式代入 $L(w,b,a) $，得到对偶问题的表达式：

\[L(w,b,a) =\frac{1}{{2}}\sum_{i=1}^n\alpha_i - \frac{1}{{2}}\sum_{i,j=1}^n\alpha_i\alpha_jy_iy_jx^T_ix_j \]

于是新的目标问题及限制条件为（对偶问题）:

\[\begin{cases} max_a(\sum_{i=1}^n\alpha_i - \frac{1}{{2}}\sum_{i,j=1}^n\alpha_i\alpha_jy_iy_jx^T_ix_j) \\ \\ s.t.,\alpha \geq0,i=1,2,...,n \\ \\ \sum_{i=1}^n\alpha_iy_i = 0 \end{cases} \]

这个就是我们需要最终优化的式子，只关于 \(α\) 向量的式子。

(2) L关于 \(α\) 的最大值

上式最终的对偶问题，是一个凸二次规划问题，理论上用任何一个解决凸二次规划的软件包都可以解决。

一般使用SMO算法，输入是样本，输出是 \(a\)

SMO基本思想是，不断执行如下两个步骤，直至收敛：

• 选取一对参数\((\alpha_i,\alpha_j)\)

• 固定 \(\alpha\) 向量的其他参数，将\((\alpha_i,\alpha_j)\)代入上述表达式进行求最优解获得更新后的\((\alpha_i,\alpha_j)\)

解出 \(a\) 后，\(w、b\)也就确定下来，进而能得到决策面。

具体的SMO算法细节，有些超过本文的定位，就不在此处展开。

2、线性不可分决策面

上面讨论了线性可分的数据集的处理方式。但是，实际应用中的数据样本，可能更多的是线性不可分的，即不能找到一个可以将数据分类的超平面。

这种情况下，一般使用核函数将原始空间映射到一个高维空间，在高维高间对数据进行划分。理论上只要维度足够高，那么总能做到分类。

2.1 决策面方程

在线性可分的基础上，将样本 \(x\)，进行一次变换，得到\(\phi(x)\)

超平台变为：

\[w^T\phi(x) + b = 0 \]

2.2 求最优解

整个推理过程，与线性可分的基本一样，唯一不同的，是将各个公式化中的 \(x\)，换成 \(\phi(x)\)。

即得到对遇问题：

\[\begin{cases} max_a(\sum_{i=1}^n\alpha_i - \frac{1}{{2}}\sum_{i,j=1}^n\alpha_i\alpha_jy_iy_j\phi(x_i)^T\phi(x_j)) \\ \\ s.t.,\alpha \geq0,i=1,2,...,n \\ \\ \sum_{i=1}^n\alpha_iy_i = 0 \end{cases} \]

令：

\[\phi(x_i)^T\phi(x_j) = K(x_i,x_j) \]

这个式子所做的事情就是将线性的空间映射到高维的空间，K函数有很多种，下面是比较典型的两种：

• 多项式核

\[K(x_i,x_j) = (x_i.x_j+1)^d \]

• 高斯核

\[K(x_i,x_j) = exp(-\frac{(x_i-x_j)^2}{2\sigma^2}) \]

最后一样能通过各类软件包，例如SMO，实现求解。