机器学习之二：分类算法 之 逻辑回归

分类

分类应是极为常见的问题，我们生活周边的一切事物，皆是类别分明。机器学习领域，处理分类问题的方法有多种，如逻辑回归、支持向量机、以及无监督学习的K-mean等等。本文主要介始逻辑回归。

逻辑回归

逻辑回归，主要用于解决分类问题，例如二分类。

对于二分类问题，通过给出的样本\(（x,y）\)（若为二分类，y={0,1}），确定一个可以对数据一分为二的边界，有了这个边界，对于一个新的样本，根据其特征，便能预测其类属。边界可以是一根直线，或是一个圆，或是一个多边形等。

对于多分类问题，可以通过执行多次二分类解决：保留要区分的一类，剩下的归为另一类。例如，区分A、B、C类，需执行如下三次二分类：

首先，保留A类，将B和C归为other，执行二分类，区分出A类。

接着，保留B类，将A和C归为other，执行二分类，区分出B类。

同样，保留C类，将A和B归为other，执行二分类，区分出C类。

分类问题的解决方法，与线性回归类似，一样从误差函数入手，一样使用梯度下降法。

原理

分类问题，其 \(y\) 值一般设置为有限的离散值，例如0、1。所以系统所要做的工作，就是当一个新的样本输入时，需要判断其为可能值的概率分别有多大，以此在确定其y值，即其类属。

1、模型假设

令逻辑回归的假设函数为：\(h_\theta(x) = g(\theta^Tx)\)

其中，\(g(z) = \frac{1}{1+e^{-z}}\)，为sigmoid函数。

对g(z)函数的理解

g(z)函数是来源于最大熵原理，通过拉格朗日乘数法（寻找变量受一个或多个条件限制的多元函数极值的方法）求偏导得出，故而 \(h_\theta(x)\)的值，其实是系统 "认为" 样本为 "1" 的概率值P，即：

\( h_\theta(x) = P(y=1|x) \)

使用 sigmoid 函数的优点

以二分类为例，根据输入样本的特征，确定其输出为 0 或 1，显然阶跌函数有这些特性，如下

可以看到，阶跃函数在 \(t_0\) 处有两个问题：

（1） \(t_0\) 时的值应当认为 0 还是 1？

（2） \(t_0\) 发生了跃变，数学上求导麻烦。

而sigmoid函数，其值满足0~1之间，且为单调递增的连续曲线，比之阶跃函数更有优势。

2、误差函数

误差函数为

\( J = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}[-y^{(i)}log(h_\theta(x^{(i)})) - (1-y^{(i)})log(1-h_\theta(x^{(i)}))] \)

误差函数对 \(\theta\) 的导数为

\( grad = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)} \)

一、最简单的二分类，一阶特征，直线边界

1、误差函数及偏导数

1.1 误差函数实现

function [J, grad] = costFunction(theta, X, y)

m = length(y); % number of training examples
J = 0;

grad = zeros(size(theta));

h = sigmoid(X*theta);

J = ((-y' * log(h)) - (1-y)' * log(1-h))/m;

grad = 1/m .* X' * (h-y); 

% =============================================================

end

1.2 误差函数测试

[m, n] = size(X);

% Add intercept term to x and X_test
X = [ones(m, 1) X];

% Initialize fitting parameters
initial_theta = zeros(n + 1, 1);

% Compute and display initial cost and gradient
[cost, grad] = costFunction(initial_theta, X, y);

fprintf('Cost at initial theta (zeros): %f\n', cost);
fprintf('Expected cost (approx): 0.693\n');
fprintf('Gradient at initial theta (zeros): \n');
fprintf(' %f \n', grad);
fprintf('Expected gradients (approx):\n -0.1000\n -12.0092\n -11.2628\n');

% Compute and display cost and gradient with non-zero theta
test_theta = [-24; 0.2; 0.2];
[cost, grad] = costFunction(test_theta, X, y);

fprintf('\nCost at test theta: %f\n', cost);
fprintf('Expected cost (approx): 0.218\n');
fprintf('Gradient at test theta: \n');
fprintf(' %f \n', grad);
fprintf('Expected gradients (approx):\n 0.043\n 2.566\n 2.647\n');

2、梯度下降算法

这里使用优化的函数进行

%  Set options for fminunc
options = optimset('GradObj', 'on', 'MaxIter', 400);

%  Run fminunc to obtain the optimal theta
%  This function will return theta and the cost 
[theta, cost] = fminunc(@(t)(costFunction(t, X, y)), initial_theta, options);

% Print theta to screen
fprintf('Cost at theta found by fminunc: %f\n', cost);
fprintf('Expected cost (approx): 0.203\n');
fprintf('theta: \n');
fprintf(' %f \n', theta);
fprintf('Expected theta (approx):\n');
fprintf(' -25.161\n 0.206\n 0.201\n');

3、预测

prob = sigmoid([1 45 85] * theta);
fprintf(['For a student with scores 45 and 85, we predict an admission ' ...
         'probability of %f\n'], prob);
fprintf('Expected value: 0.775 +/- 0.002\n\n');

% Compute accuracy on our training set
p = predict(theta, X);

fprintf('Train Accuracy: %f\n', mean(double(p == y)) * 100);
fprintf('Expected accuracy (approx): 89.0\n');

二、多边形边界

上面是最简单的分类问题，而现实中的样本，往往需要拟合一条曲线来划分数据，即是多项式拟合。

其处理方法，基本与上式相同。不同的是需要将特征转为多项式转换，使之能拟合更复杂的边界，如圆、或者其他的不规则图形。

1、数据预处理，生成多项式特征

X = mapFeature(X(:,1), X(:,2));

生成多项式的方法如下：

function out = mapFeature(X1, X2)
degree = 6;  
out = ones(size(X1(:,1)));
for i = 1:degree
    for j = 0:i
        out(:, end+1) = (X1.^(i-j)).*(X2.^j);
    end
end

end

2、训练

使用与一阶边界相同的方法

% Initialize fitting parameters
initial_theta = zeros(size(X, 2), 1);

% Set Options
options = optimset('GradObj', 'on', 'MaxIter', 400);

% Optimize
[theta, J, exit_flag] = ...
	fminunc(@(t)(costFunction(t, X, y)), initial_theta, options);

3、预测

二分类的预测方法：对于一个新的样本，分别计算其为0、1概率，取大于0.5的值做为输出。

p = predict(theta, X);
fprintf('Train Accuracy: %f\n', mean(double(p == y)) * 100);

function p = predict(theta, X)
m = size(X, 1); % Number of training examples
p = zeros(m, 1);
p_medium = sigmoid(X*theta);  
pos = find(p_medium >= 0.5);  
p(pos,1)=1;  
end

三、多分类问题

例如给出如下训练集，100张大小为20*20图，内容为0~9的数字

X 为每张图的像素数值，即特征数 n = 400

y 为图上的数字，即y = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

1、训练

[all_theta] = oneVsAll(X, y, num_labels);

分别对每个数字进行训练，得出10个theta矩阵。

function [all_theta] = oneVsAll(X, y, num_labels)
m = size(X, 1);
n = size(X, 2);
all_theta = zeros(num_labels, n + 1);

% Add ones to the X data matrix
X = [ones(m, 1) X];

initial_thata  = zeros(n+1,1);
options = optimset('GradObj','on','MaxIter',50);
for c = 1:num_labels
    [all_theta(c,:)] =  fmincg(@(t)(costFunction(t,X,(y ==c))),initial_thata,options);
end
end

2、预测

输入一张图片，计算其为0~9的各个概率，概率最大的值就是其输出。

pred = predictOneVsAll(all_theta, X);

fprintf('\nTraining Set Accuracy: %f\n', mean(double(pred == y)) * 100);

function p = predictOneVsAll(all_theta, X)

m = size(X, 1);
num_labels = size(all_theta, 1);
p = zeros(size(X, 1), 1);
X = [ones(m, 1) X];

% 计算得出X中，可能的所有概率值，取最大
h  = sigmoid(X* all_theta');
[~,p] = max(h,[],2); 
end