扩展欧几里得算法、不定方程、同余方程、乘法逆元求解

不定方程理论

设 k ≥ 2，$c,a_1,...,a_k$是整数且$a_1,...,a_k$都不等于零，以及$x_1,...,x_k$是整数变数，则方程

$$a_1{x}_1+...+a_k{x}_k=c(1)$$

称为 k 元一次不定方程，$a_1,...,a_k$称为它的系数。

【求解方法理论】

$\mathrm{定}\mathrm{理}\mathrm{一}$：不定方程有解的充分必要条件是它的系数的最大公约数$(a_1,...,a_k)|c$。并且，不定方程（1）有解时，它的解和不定方程

$$\frac{a_1}{g}{x}_1+...+\frac{a_k}{g}{x}_k=\frac{c}{g}(2)$$

的解相同，这里 $g=(a_1,...,a_k)$。

证 必要性显然。下面来证充分性，若 $g|c$，设 $c=g{c}_1$，又g = $(a_1,...,a_k)$ 必然可以表示为$a_1,...,a_k$的所有整系数线性组合中最小的正整数，则必有整数 $y_{1,0},...,y_{k,0}$，使得

$$a_1{y}_{1,0}+...+a_k{y}_{k,0}=g(3)$$

因此$x_1=c_1{y}_{1,0},...,x_k=c_k{y}_{k,0}$ 即为 (1) 的一组解，这就证明了充分性。由于 (1) 有解时必有 $g|c$，而此时不定方程 (1) 和 (2) 是同一个方程，这就证明了后一结论。

$\mathrm{定}\mathrm{理}\mathrm{二}$：设二元一次不定方程

$$a_1{x}_1+a_2{x}_2=c(4)$$

有解，$x_{1,0},x_{2,0}$ 是它的一组解，那么它的所有解为

$$\{\begin{array}{l}{x}_1=x_{1,0}+\frac{a_2}{(a_1,a_2)}t\\ t=0,\pm 1,\pm 2,...\\ x_2=x_{2,0}-\frac{a_1}{(a_1,a_2)}t\end{array}$$

证 容易直接验证由式 (5) 给出的，对所有整数 t 都满足不等式(4)。反过来，设$x_1,x_2$ 是 (4) 的一组解，那么我们有

$$a_1{x}_1+a_2{x}_2=c=a_1{x}_{1,0}+a_2{x}_{2,0}$$

进而有

$$a_1(x_1-x_{1,0})=-a_2(x_2-x_{2,0})$$

$$\frac{a_1}{(a_1,a_2)}(x_1-x_{1,0})=-\frac{a_2}{(a_1,a_2)}(x_2-x_{2,0})$$

又因为 $(\frac{a_1}{(a_1,a_2))},\frac{a_2}{(a_1,a_2)})=1$，则由定理知，

扩展欧几里得算法

求 ax + by = gcd(a, b) 的一组整数解

扩展欧几里得算法：

（1）当 b = 0时，ax + by = a，故 x = 1，b = 0

（2）当 b ≠ 0时，由欧几里得算法，gcd(a, b) = gcd(b, a % b)

由裴蜀定理，得

$$gcd(a,b)=ax+by$$

$$gcd(b,a\mathrm{\%}b)=b{x}_1+(a\mathrm{\%}b)y_1$$

$$=b{x}_1+(a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times b)y_1$$

$$=a{y}_1+b(x_1-\frac{a}{b}{y}_1)$$

所以 $x=y_1,y=x_1-\frac{a}{c}{y}_1$。故可以用递归算法，先求出下一层的$x_1,y_1$。再回代到上一层，层层回代，即可求出特解 $(x_0,y_0)$。

构造通解

$$\{\begin{array}{l}y=x_0+\frac{b}{gcd(a,b)}\ast t\\ t=0,\pm 1,\pm 2,...\\ x=y_0-\frac{a}{gcd(a,b)}\ast t\end{array}$$

模板: 时间复杂度 ：$O(logn)$

int exgcd(int a,int b, int &x, int &y)
{
    if(!b)
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int x1, y1, d;
    d = exgcd(b, a % b, x1, y1);
    x = y1, y = x1 - a / b * y1;
    return d;
}

求解不定方程

求 ax + by = c 的一组整数解

求解步骤：

若 gcd(a, b) | c，则有整数解，先用扩欧算法求 ax + by = gcd(a, b) 的解，再乘以 c / gcd(a, b)，即得原方程的特解$x_0,y_0$。

模板：时间复杂度 ：$O(logn)$

int main()
{
    int a, b, c;
    cin >> a >> b >> c;
    int x, y;
    int d = exgcd(a, b, x, y);
    if(c % d == 0) printf("%d %d\n", c/d * x, c/d * y);
    else puts("No solution");
    return 0;
}

求解同余方程

给定整数a，b，m，求解同余方程 ax ≡ b （mod m）。

如果 x 存在整数解，则输出任意一个；

如果不存在，则输出 No solution。

例：8x ≡ 4 （mod 6），整数解 x = 2

求解步骤：

1. 把同余方程转化成不定方程

   由 ax ≡ b （mod m）

   得 ax = m（-y） + b

   即 ax + my = b

   又有裴蜀定理，当 gcd(a, m) | b时有解

2. 用扩欧算法，求 ax + my = gcd(a, m)的解，然后把 x 乘以 b / gcd(a, m) 即得原方程的特解。

模板：时间复杂度 ：$O(logn)$

int main()
{
    int a, b, m;
    cin >> a >> b >> m;
    int x, y;
    int d = exgcd(a, m, x, y);
    if(b % d == 0) printf("%d\n", 1ll*x * b / d);
    else printf("No solution\n");
    
    return 0;
}

求解乘法逆元

给定整数a，m，且 a 与 m互质时，对于同余方程 ax ≡ 1 （mod m）。求 a 的乘法逆元 x （0 < x < m)

例： 3x ≡ 1 （mod 4），整数解 x = 3

求解步骤：

1. 乘法逆元转化不定方程，等价变形 ax + my = 1。
2. 扩欧算法 求 ax + my = gcd(a, m) 的解 x（由于此时 x / gcd(a, m) = x)，之后 (x % m + m) % m即为答案。

技巧：“模加模”保证最小正整数

例：x = -7, m = 5，则(-7 % 5 + 5) % 5 = 3

例：x = 7, m = 5，则(7 % 5 + 5) % 5 = 2

模板：时间复杂度 ：$O(logn)$

int main()
{
    int a, m;
    cin >> a >> m;
    int x, y;
    int d = exgcd(a, m, x, y);
    if(d == 1) printf("%d\n", (x % m + m) % m); // a, m互质才有逆元
    return 0;
}