贪心算法
[0-1背包问题]有一个背包，背包容量是M=150。有7个物品，物品不可以分割成任意大小。
要求尽可能让装入背包中的物品总价值最大，但不能超过总容量。
物品 A B C D E F G
重量 35 30 60 50 40 10 25
价值 10 40 30 50 35 40 30
分析：
目标函数：∑pi最大
约束条件是装入的物品总重量不超过背包容量：∑wi<=M(M=150）
⑴根据贪心的策略，每次挑选价值最大的物品装入背包，得到的结果是否最优？
⑵每次挑选所占重量最小的物品装入是否能得到最优解？
⑶每次选取单位重量价值最大的物品，成为解本题的策略。
值得注意的是，贪心算法并不是完全不可以使用，贪心策略一旦经过证明成立后，它就是一种高效的算法。
贪心算法还是很常见的算法之一，这是由于它简单易行，构造贪心策略不是很困难。
可惜的是，它需要证明后才能真正运用到题目的算法中。
一般来说，贪心算法的证明围绕着：整个问题的最优解一定由在贪心策略中存在的子问题的最优解得来的。
对于例题中的3种贪心策略，都是无法成立（无法被证明）的，解释如下：
⑴贪心策略：选取价值最大者。
反例：
W=30
物品：A B C
重量：28 12 12
价值：30 20 20
根据策略，首先选取物品A，接下来就无法再选取了，可是，选取B、C则更好。
⑵贪心策略：选取重量最小。它的反例与第一种策略的反例差不多。
⑶贪心策略：选取单位重量价值最大的物品。
反例：
W=30
物品：A B C
重量：28 20 10
价值：28 20 10
根据策略，三种物品单位重量价值一样，程序无法依据现有策略作出判断，如果选择A，则答案错误。
【注意：如果物品可以分割为任意大小，那么策略3可得最优解】
对于选取单位重量价值最大的物品这个策略，可以再加一条优化的规则：对于单位重量价值一样的，则优先选择重量小的！这样，上面的反例就解决了。
但是，如果题目是如下所示，这个策略就也不行了。
W=40
物品：A B C
重量：25 20 15
价值：25 20 15
附：本题是个DP问题，用贪心法并不一定可以求得最优解，以后了解了动态规划算法后本题就有了新的解法。
编辑本段备注
所以需要说明的是，贪心算法可以与随机化算法一起使用，具体的例子就不再多举了。（因为这一类算法普及性不高，而且技术含量是非常高的，需要通过一些反例确定随机的对象是什么，随机程度如何，但也是不能保证完全正确，只能是极大的几率正确）
编辑本段例题
马踏棋盘的贪心算法
123041-23 XX
【问题描述】
马的遍历问题。在8×8方格的棋盘上，从任意指定方格出发，为马寻找一条走遍棋盘每一格并且只经过一次的一条最短路径。
【初步设计】
首先这是一个搜索问题，运用深度优先搜索进行求解。算法如下：
⒈ 输入初始位置坐标x,y；
⒉ 步骤 c:
如果c> 64输出一个解，返回上一步骤c--
（x,y) ← c
计算(x,y）的八个方位的子结点，选出那此可行的子结点
循环遍历所有可行子结点，步骤c++重复2
显然⑵是一个递归调用的过程，大致如下：
#define N 8
……
……
void dfs(int x,int y,int count)
{
int i,tx,ty;
if(count> N*N)
{
output_solution();//输出一个解
return;
}
for(I=0;i <8;++i)
{
tx=hn[i].x;//hn[]保存八个方位子结点
ty=hn[i].y;
s[tx][ty]=count;
dfs(tx,ty,count+1）；//递归调用
s[tx][ty]=0;
}
}
Pascal程序：
Program YS;
Const FXx:array[1..8]of -2..2=（1,2,2,1,-1,-2,-2,-1）；
FXy:array[1..8]of -2..2=（2,1,-1,-2,-2,-1,1,2）；
Var
Road:array[1..10,1..10]of integer;
x,y,x1,y1,total:integer;
Procedure Find(x,y:integer);
var Nx,Ny,i:integer;
Begin
For i:=1 to 8 do begin {8个方向}
If (x+FXx[i] in [1..8]) and (y+FXy[i] in [1..8]) Then{确定新坐标是否越界}
If Road[x+Fxx[i],y+Fxy[i]]=0 Then begin{判断是否走过}
Nx:=x+FXx[i]; Ny:=y+FXy[i]; Road[Nx,Ny]:=1;{建立新坐标}
If (Nx=x1） and (Ny=y1） Then inc(total)
else Find(Nx,Ny); {递归}
Road[Nx,Ny]:=0 {回朔}
end
end
End;
BEGIN{Main}
Total:=0;
FillChar(Road,sizeof(road),0);
Readln(x,y); {读入开始坐标}
Readln(x1,y1）； {读入结束坐标}
If (x>10） or (y>10） or (x1>10） or (y1>10） Then writeln('Eorror') {判断是否越界}
Else Find(x,y);
Writeln('Total:',total) {打出总数}
END.
这样做是完全可行的，它输入的是全部解，但是马遍历当8×8时解是非常之多的，用天文数字形容也不为过，这样一来求解的过程就非常慢，并且出一个解也非常慢。
怎么才能快速地得到部分解呢？
【贪心算法】
其实马踏棋盘的问题很早就有人提出，且早在1823年，J.C.Warnsdorff就提出了一个有名的算法。在每个结点对其子结点进行选取时，优先选择‘出口’最小的进行搜索，‘出口’的意思是在这些子结点中它们的可行子结点的个数，也就是‘孙子’结点越少的越优先跳，为什么要这样选取，这是一种局部调整最优的做法，如果优先选择出口多的子结点，那出口少的子结点就会越来越多，很可能出现‘死’结点（顾名思义就是没有出口又没有跳过的结点），这样对下面的搜索纯粹是徒劳，这样会浪费很多无用的时间，反过来如果每次都优先选择出口少的结点跳，那出口少的结点就会越来越少，这样跳成功的机会就更大一些。这种算法称为为贪心算法，也叫贪婪算法或启发式算法，它对整个求解过程的局部做最优调整，它只适用于求较优解或者部分解，而不能求最优解。这样的调整方法叫贪心策略，至于什么问题需要什么样的贪心策略是不确定的，具体问题具体分析。实验可以证明马遍历问题在运用到了上面的贪心策略之后求解速率有非常明显的提高，如果只要求出一个解甚至不用回溯就可以完成，因为在这个算法提出的时候世界上还没有计算机，这种方法完全可以用手工求出解来，其效率可想而知。
编辑本段数学应用
如把3/7和13/23分别化为三个单位分数的和
【贪心算法】
设a、b为互质正整数，a<b 分数a/b 可用以下的步骤分解成若干个单位分数之和：
步骤一： 用b 除以a，得商数q1 及余数r1。（r1=b - a*q1）
步骤二：把a/b 记作：a/b=1/(q1+1）+(a-r)/b(q1+1）
步骤三：重复步骤2，直到分解完毕
3/7=1/3+2/21=1/3+1/11+1/231
13/23=1/2+3/46=1/2+1/16+1/368
设某个真分数的分子为a，分母为b;
把b除以a的商部分加1后的值作为埃及分数的某一个分母c；
将a乘以c再减去b，作为新的a；
将b乘以c，得到新的b；
如果a大于1且能整除b，则最后一个分母为b/a；算法结束；
或者，如果a等于1，则，最后一个分母为b；算法结束；
否则重复上面的步骤。
备注：事实上，后面判断a是否大于1和a是否等于1的两个判断可以合在一起，及判断b%a是否等于0，最后一个分母为b/a，显然是正确的。
