数论 - 随笔分类 - Simex

CF1900D Small GCD

摘要：Link 这是一个需要欧拉反演的题目首先，可以知道只和数字之间的大小有关，数列的顺序无关，那么就可以首先排一个序方便解决该问题。根据欧拉函数的性质，知道

n = \sum_{d | n} ϕ (n)

$n=\sum_{d|n}\phi{(n)}$ 那么我们每次先确定中间的数

a_{j}

$a_j$ ，然后根据公式，得他它得贡献是\(\sum_{i=1 阅读全文

posted @ 2023-12-12 23:24 Simex 阅读(12) 评论(0) 推荐(0) 编辑

对于扩展欧几里得算法的小总结

摘要：对于不定方程

a x + b y = c

$ax+by=c$ 有正数解的充分必要条件是

c | g c d (a, b)

$c|gcd(a,b)$ ，证明请看裴蜀定理那么显然的，我们只要能解出方程

a x + b y = g c d (a, b)

$ax+by=gcd(a,b)$ 然后把解

\times \frac{c}{g c d (a, b)}

$\times \frac{c}{gcd(a,b)}$ 即可如何解这个新的方程呢？我们知道

g c d (a, b)

$gcd(a,b)$ ，阅读全文

posted @ 2023-11-04 17:54 Simex 阅读(4) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF1886D Monocarp and the Set

摘要：Link 此题目可以从两个方向考虑，正着和倒着，倒着考虑比较容易，首先把所有的数放到一块，如果是'<'或者'>'，就是去掉最左边或者最右边的数，这样显然只有一种可能,答案不变。如果是'?'，那么显然可以去掉中间的任意一个，所以答案就是

\times l - 2

$\times l-2$ ，那么对于

s_{n} - i

$s_n-i$ 位置的\ 阅读全文

posted @ 2023-10-22 23:14 Simex 阅读(11) 评论(0) 推荐(0) 编辑

平衡进制问题/对称的2k+1进制问题

摘要：定义平衡

2 k + 1

$2k+1$ 进制数码为

- k, - (k - 1),,, 0,,, k - 1, k

$-k,-(k-1),,,0,,,k-1,k$ ，请求出一个十进制数的

2 k + 1

$2k+1$ 进制表示。对于该问题，解决的思路是首先算出普通的

2 k + 1

$2k+1$ 进制下的表示，然后分别对每一位进行考虑. 1:这一位的数属于

0 - k

$0-k$ 不用管 2:这一位的数属于\(k+ 阅读全文

posted @ 2023-10-14 23:07 Simex 阅读(93) 评论(0) 推荐(0) 编辑

C1. Dual (Easy Version)

摘要：[link](https://codeforces.com/contest/1855/problem/C1) 像这种构造题可以先分类讨论一波比如说全是正数或者全是负数，那么显然的就是可以用前缀和和后缀和来解决。而如果有正有负呢？可以注意到的是数字非常小，而

2^{5} = 32 > 20

$2^5=32>20$ 了，那么我们就可以阅读全文

posted @ 2023-08-08 17:19 Simex 阅读(104) 评论(0) 推荐(0) 编辑

B. Longest Divisors Interval

摘要：[link](https://codeforces.com/contest/1855/problem/B) 需要思考一下如果这个题能做，那么肯定有一种比较可行的做法。如果

[l, r]

$[l,r]$ 是可行的，那么就意味着

[1, r - l + 1]

$[1,r-l+1]$ 是可行的这是显然的，显然后者的每一个数在前者中必然有对应的倍数，所阅读全文

posted @ 2023-08-08 17:16 Simex 阅读(23) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P2155 [SDOI2008] 沙拉公主的困惑

摘要：Jisoo 大家都知道怎样单独求某一个东西的欧拉函数值

Ψ (m) = m * \prod_{p r i m e_{i} | m} (\frac{p r i m e - 1}{p r i m e})

$\Psi(m)=m*\prod_{prime_i|m}(\frac{prime-1}{prime})$ 其中右边的东西是用容斥定理搞出来的。那么我们是否也能够用容斥定理处理这个问题？显然那个

m

$m$ 是需要约去的，并且我们可以快速求出$\psi( 阅读全文

posted @ 2021-11-08 11:11 Simex 阅读(48) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P4626 一道水题 II

摘要：Jisoo 大家都知道，对于两个数

a, b

$a,b$ 的

l c m

$lcm$ ,只要求去每个质数因数的较大的幂乘起来就行了。然后卡卡时 #include<cstdio> #include<iostream> #include<cstring> #include<iomanip> #include<cmath> #inc 阅读全文

posted @ 2021-11-08 08:19 Simex 阅读(26) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P2261 [CQOI2007]余数求和

摘要：Jisoo 众所周知，这个式子就是

\sum_{i = 1}^{n} (k - i * ⌊ \frac{k}{i} ⌋)

$\sum_{i=1}^n(k-i*\lfloor\frac{k}{i}\rfloor)$ 也就是

n k - \sum_{i - 1}^{n} (i ⌊ \frac{k}{i} ⌋)

$nk-\sum_{i-1}^n(i\lfloor\frac{k}{i}\rfloor)$ 右边的东西用数论分块+等差数列搞一下就可以了数论分块的每一块的右边界是$\ 阅读全文

posted @ 2021-11-04 16:34 Simex 阅读(37) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P4570 [BJWC2011]元素

摘要：Jinnie 显然还是一个线性基的问题，那么很显然要用线性基对于一堆石头

S_{1}, S_{2}, S_{3}

$S_1,S_2,S_3$ ，如果加入X会令异或值为0的话，那么显然我们可以拿出一块再把x放进去这样只需要线性基检查能不能放，从大到小放就行。这告知了我们求线性基可以考虑改变顺序 #include<bits/stdc++. 阅读全文

posted @ 2021-10-21 11:33 Simex 阅读(25) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P3857 [TJOI2008]彩灯

摘要：Jinnie 显然是一个线性基的问题，那么很显然要用线性基想要知道所有的方案数，线性基的性质就是用其中的元素

x o r

$xor$ 出来的元素保证互不相等这样的话只要知道线性基内元素的数量就可以了 #include<bits/stdc++.h> #define int long long using nam 阅读全文

posted @ 2021-10-21 11:22 Simex 阅读(21) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P1365 WJMZBMR打osu! / Easy

摘要：JIsoo 期望得分要dp，然后期望长度是有关系的那就一块dp #include<cstdio> #include<iostream> #include<cstring> #include<iomanip> #include<cmath> #include<algorithm> using nam 阅读全文

posted @ 2021-10-19 16:01 Simex 阅读(30) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P2822 [NOIP2016 提高组] 组合数问题

摘要：Jennie k是给定的把m和n扔到一个坐标系里成了二维的了，我们又都知道

C m_{n} = c_{n - 1} m - 1 + c_{n - 1}^{m}

$Cm_n=c_{n-1}{m-1}+c_{n-1}^m$ 然后求和那个奇特的范围这就是个二维的前缀和啊 #include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> # 阅读全文

posted @ 2021-10-07 14:05 Simex 阅读(54) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF1325D Ehab the Xorcist

摘要：Jisoo 首先可以意识到，对于这个数组，他的异或和一定不会超过数值和所以说

u > v

$u>v$ 直接挂了然后意识到，区间和的奇偶性和异或和是一样的，（看第一位），这样

u ！ = v

$u！=v$ 也不行剩下的呢，可以直接构造

u, \frac{v - u}{2}, \frac{v - u}{2}

$u,\frac{v-u}{2},\frac{v-u}{2}$ （已经保证了分子为偶数阅读全文

posted @ 2021-09-27 11:46 Simex 阅读(32) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF1569C Jury Meeting

摘要：Lisa 这个序列只需要考虑最大值和次大值的数量如果最大值数量大于1，那么所有排列都可以，输出全排列如果最大值为1且不等于次大值加1，那么不可能存在如果最大值为1且等于次大值加1，那么只要最大值后面有至少一个次大值就可行然后就是组合数学算一算 #include<iostream> #incl 阅读全文

posted @ 2021-09-09 23:04 Simex 阅读(109) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P3812 【模板】线性基

摘要：P3812 【模板】线性基这是一道板子题 #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #define ll long long using namespace std; ll p[100]; ll ans; ll x; ll n; v 阅读全文

posted @ 2021-08-02 08:17 Simex 阅读(26) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P3807 【模板】卢卡斯定理/Lucas 定理

摘要：Jennie

c_{m}^{n} = c_{m / p}^{n / p} * c_{m % p}^{n % p}

$c^n_m=c^{n/p}_{m/p}*{c^{n\%p}_{m\%p}}$ 然后套上去就行了 #include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> #include<cmath> #d 阅读全文

posted @ 2021-07-30 00:18 Simex 阅读(43) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P2303 [SDOI2012] Longge 的问题

摘要：Jennie 结合一下上一个题的思想，先确定一下这个最大公因数可以是谁--n的因数，所以说肯定要对n的每一个因数的倍数下手，其中去除乘起来为n的哪个外，我们要注意一下剩下的倍数要跟他互质 ‘这不就和上个题一样了 #include<iostream> #include<cstdio> #includ 阅读全文

posted @ 2021-07-30 00:14 Simex 阅读(26) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P2568 GCD

摘要：Jennie 素数不多，我们考虑素数就可以了对于素数来说，能以他为gcd，那么肯定时它的倍数，且

g c d (\frac{i}{p r i m e}, \frac{j}{p r i m e}) = 1

$gcd(\frac{i}{prime},\frac{j}{prime})=1$ ，那么我们先求出

1 - n

$1-n$ 有多少个prime的倍数，然后取出两个互质的倍数，就是一个答案这不就时

ϕ ()

$\phi()$ 的干的好阅读全文

posted @ 2021-07-29 23:55 Simex 阅读(22) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P4139 上帝与集合的正确用法

摘要：Jennie 首先我们要知道欧拉定理

a^{b} \equiv^{b % ϕ (p) + ϕ (p)} b >= p

$a^b\equiv^{b\%\phi(p)+\phi(p)}\quad b>=p$

a^{b} \equiv^{b % ϕ (p)} b < p

$a^b\equiv^{b\%\phi(p)} \quad b<p$ 然后对于这个式子，我们可以改造成 \(2^{2^{2^{2^{...}}}\%\phi(p)+\p 阅读全文

posted @ 2021-07-29 23:49 Simex 阅读(35) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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