线性DP几题

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求最长上升序列（线性dp模板）

Description

设有由 \(n\) 个不相同的整数组成的数列，记为:\(b_1\)、\(b_2\)、\(……\)、\(b_n\) 且 \(b_i<>b_j (i<>j)\)，若存在\(i_1<i_2<i_3< … < i_e\) 且有 \(b_{i1}<b_{i2}< … <b_{ie}\) 则称为长度为 \(e\) 的不下降序列。

程序要求，当原数列出之后，求出最长的上升序列。

例如 \(13\)，\(7\)，\(9\)，\(16\)，\(38\)，\(24\)，\(37\)，\(18\)，\(44\)，\(19\)，\(21\)，\(22\)，\(63\)，\(15\)。例中 \(13\)，\(16\)，\(18\)，\(19\)，\(21\)，\(22\)，\(63\) 就是一个长度为 \(7\) 的不下降序列，同时也有 \(7\)，\(9\)，\(16\)，\(18\)，\(19\)，\(21\)，\(22\)，\(63\) 长度为 \(8\) 的不下降序列。

Input Format

只有一行，为若干正整数（最多 \(1000\) 个数）

Output Format

为两行，第一行为最上升序列的长度。 第二行为该序列

Sample

样例输入

13 7 9 16 38 24 37 18 44 19 21 22 63 15

样例输出

max=8
7 9 16 18 19 21 22 63

思路

模板线性dp，但是折磨了我肥肠久。

die 码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
int a[N], f[N], p[N];
int res = 1, n;
void out(int k) {
	if (p[k] != 0)
		out(p[k]);
	cout << a[k] << " ";
}
int main() {
	while (cin >> a[++n]);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		f[i] = 1;
		for (int j = 1; j < i; j++) {
			if (a[j] < a[i]) {
				if (f[j] + 1 > f[i]) {
					f[i] = f[j] + 1;
					p[i] = j;
				}
				res = max(res, f[i]);
			}
		}
	}
	cout << "max=" << res << endl;
	int k = 1;
	while (f[k] != res)
		k++;
	out(k);
	return 0;
}

备注

附洛谷题面，和上文代码略有差异。

合唱队列

Description

\(N\) 位同学站成一排，音乐老师要请其中的 \((N-K)\) 位同学出列，使得剩下的 \(K\) 位同学排成合唱队形。合唱队形是指这样的一种队形：设 \(K\) 位同学从左到右依次编号为 \(1, 2, …, K\)，他们的身高分别为 \(T_1, T_2, …, T_K\)，则他们的身高满足 $T_1 < T_2 < … < T_i \(，\)T_i > T_{i+1} > … > T_K (1\le i\le K)$。

你的任务是，已知所有 \(N\) 位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。

Input Format

输入文件 \(chorus.in\) 的第一行是一个整数 \(N(2\le N\le 100)\)，表示同学的总数。第二行有 \(n\) 个整数，用空格分隔，第 \(i\) 个整数 \(T_i(130\le Ti\le 230)\) 是第 \(i\) 位同学的身高（厘米）。

对于 \(50\%\) 的数据，保证有 \(n\le 20\)；对于全部的数据，保证有 \(n\le 100\)。

Output Format

输出文件 \(chorus.out\) 包括一行，这一行只包含一个整数，就是最少需要几位同学出列。

Sample

样例输入

8
186 186 150 200 160 130 197 220

样例输出

4

思路

和模板基本相同，跑两次 \(dp\) 即可。

die码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, res;
int a[105], dp1[105], dp2[105];
int main() {
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		cin >> a[i];
	memset(dp1, 0, sizeof(dp1));
	memset(dp2, 0, sizeof(dp2));
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		dp1[i] = 1;
		for (int j = 1; j < i; j++)
			if (a[i] > a[j] && dp1[j] + 1 > dp1[i])
				dp1[i] = dp1[j] + 1;
	}
	for (int i = n; i >= 1; i--) {
		dp2[i] = 1;
		for (int j = i; j <= n; j++) {
			if (a[i] > a[j] && dp2[j] + 1 > dp2[i])
				dp2[i] = dp2[j] + 1;
		}
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		if (dp1[i] + dp2[i] > res)
			res = dp1[i] + dp2[i];
	res = n - res + 1;
	cout << res;
	return 0;
}

备注

附洛谷题面，与上文代码相同。

导弹拦截简单版

Description

某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。

输入导弹依次飞来的高度（雷达给出的高度数据是不大于 \(30000\) 的正整数，导弹数不超过 \(1000\)），计算这套系统最多能拦截多少导弹，如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。

Input Format

输入只有一行，为若干个正整数，一次为导弹的高度。

Output Format

第一行为最多能拦截的导弹数；
第二行为要拦截所有导弹最少要配备的系统数

Sample

样例输入

389 207 155 300 299 170 158 65 

样例输出

6
2

思路

同样是简单的 \(dp\) 题，当 \(a_j\) 的值大于 \(a_i\) 时，即应换另一套系统时对 \(do2\) 进行状态转移，否则是 \(dp1\)。

die码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[1005], dp1[1005], dp2[1005];
int n, res, minn;
int main() {
	while (cin >> a[++n]);
	for (int i = 1; i < n; i++) {
		dp1[i] = 1;
		dp2[i] = 1;
		for (int j = 1; j < i; j++) {
			if (a[i] <= a[j])
				dp1[i] = max(dp1[i], dp1[j] + 1);
			else
				dp2[i] = max(dp2[i], dp2[j] + 1);
		}
		res = max(res, dp1[i]);
		minn = max(minn, dp2[i]);
	}
	cout << res << endl << minn;
	return 0;
}

备注

附洛谷题面，与上文代码略有差异。