[期望DP][SCOI2008] 奖励关

题目描述

你正在玩你最喜欢的电子游戏，并且刚刚进入一个奖励关。在这个奖励关里，系统将依次随机抛出 \(k\) 次宝物，每次你都可以选择吃或者不吃（必须在抛出下一个宝物之前做出选择，且现在决定不吃的宝物以后也不能再吃）。
宝物一共有 \(n\) 种，系统每次抛出这 \(n\) 种宝物的概率都相同且相互独立。也就是说，即使前 \(\left(k-1\right)\) 次系统都抛出宝物 \(1\)（这种情况是有可能出现的，尽管概率非常小），第 \(k\) 次抛出各个宝物的概率依然均为 \(\frac{1}{n}\)。
获取第 \(i\) 种宝物将得到 \(p_i\) 分，但并不是每种宝物都是可以随意获取的。第 \(i\) 种宝物有一个前提宝物集合 \(s_i\) 。只有当 \(s_i\) 中所有宝物都至少吃过一次，才能吃第 \(i\) 种宝物（如果系统抛出了一个目前不能吃的宝物，相当于白白的损失了一次机会。注意，\(p_i\) 可以是负数，但如果它是很多高分宝物的前提，损失短期利益而吃掉这个负分宝物将获得更大的长期利益。
假设你采取最优策略，平均情况你一共能在奖励关得到多少分值？

输入格式

第一行为两个整数，分别表示抛出宝物的次数 \(k\) 和宝物的种类数 \(n\)。
第 \(2\) 到第 \(\left(n + 1\right)\) 行，第 \(\left(i + 1\right)\) 有若干个整数表示第 \(i\) 个宝物的信息。每行首先有一个整数，表示第 \(i\) 个宝物的分数 \(p_i\)。接下来若干个互不相同的整数，表示该宝物的各个前提宝物集合 \(s_i\)，每行的结尾是一个整数 \(0\)，表示该行结束。

输出格式

输出一行一个实数表示答案，保留六位小数。

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首先枚举状态我们需要考虑状压, 设计状态为f[k][S], 表示在第 \(k\) 秒, 选择宝物的状态为 \(S\).

然后发现正序是无法 DP 的, 因为每种状态的转移会受到前一种状态的影响 (每种宝物的选择会受到前置宝物的影响),
于是考虑倒序, 从 f[k+1][S] 向前转移.

转移方程:

\[当前考虑的宝物可取: f\left(k, S\right) =\left(f\left(k, S\right) + \max\left(f\left(k+1, S\right), f\left(k+1, S'\right)+p\left(t\right)\right)\right) \div n, 其中 S \subset S' \\ 当前考虑的宝物不可取: f\left(k, S\right) = \left(f\left(k, S\right) + f\left(k+1, S\right)\right) \div n \]

代码:

# include <iostream>
# include <cstdio>
# define MAXK 105
# define MAXN 15

using namespace std;

int k, n;
int p[MAXK];
int pre[MAXK]; // pre 记录每个点的前置点
double f[MAXK][1<<MAXN];

int main(){
    int tmp;

    scanf("%d%d", &k, &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        scanf("%d", &p[i]);
        int tmpS = 0;
        scanf("%d", &tmp);
        while(tmp != 0){
            tmpS |= 1<<(tmp-1);
            scanf("%d", &tmp);
        }
        pre[i] = tmpS;
    }

    for(int i = k; i >= 1; i--) // 枚举时间
        for(int j = 0; j < (1<<n); j++){ // 枚举当前状态
            for(int t = 1; t <= n; t++){ // 枚举宝物
                if((j&pre[t]) == pre[t]) // 可以取
                    f[i][j] += max(f[i+1][j], f[i+1][j|1<<(t-1)]+1.0*p[t]);
                else
                    f[i][j] += f[i+1][j];
            }
            f[i][j] /= 1.0*n; // 每种状态有 1/n 的概率被选择
        }
                

    printf("%.6lf", f[1][0]);

    return 0;
}