第三章：多维随机变量及其分布

3.1.1 二维随机变量及其分布函数

二维随机变量定义

联合分布函数

x，y的联合分布函数

对比

一维

曲线是概率密度函数

负无穷到x 上 的面积是分布函数的函数值

二维

定义域

曲面是概率密度函数

x，y围成面积 上 的体积是分布函数的函数值

性质

边缘分布函数

x的边缘分布

y随便取（取y的所有值）

示例：一个垂直于x轴的平面从负无穷逐渐向外移动，移动过程中切到的体积越来越大

y的边缘分布

x随便取（取x的所有值）

3.1.2 二维 离散型 的联合分布和边缘分布

联合分布函数

联合分布表

联合分布表的性质

求联合分布函数

​

边缘分布函数

对行求和，得到x的边缘分布

对列求和，得到y的边缘分布

---

x，y独立时可由边缘分布确定联合分布

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3.1.3 二维 连续性 的联合分布和边缘分布

联合分布函数

---

联合密度（一个曲面）

性质

---

例题

1.求c

上面是实线，下面是虚线

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均匀分布（二维）

G是有界区域

2.(常规题型)

（1）

中间步骤

（2）

计算过程：

（3）

x>0

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边缘分布函数

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联合密度函数

$f(x,y)$

---

边缘密度函数

几何含义（以x的边缘密度函数$f_x(x)$为例）

x = x₀ 平面与联合密度函数$f(x,y)$相交所得曲线对y积分

（ 即整个体积中的一个垂直于x轴的面片，过点 (x₀ , 0 , 0) ）

补充知识点：

变上限积分

1.上限求导

2.上限带入

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例题

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联合密度函数图像

边缘密度函数图像

（以$f_x(x)$为例）

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常见二维分布

二维均匀分布

G是有界区域

二维正太分布

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3.2.1-3.2.3 条件分布（学校不考）

3.2.4 随机变量的独立性

判断条件

则x，y独立

（优先用第一个判断）

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二维离散型的独立性

判断公式

eg

不独立（只要有一个不等则不独立）

0.4*0.4 != 0.2

独立（每个都要相等）

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二维连续型的独立性

判断公式

eg

---

变量独立，构造的函数也独立

eg

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3.3.1 二维离散型随机变量函数的分布

注意：重复的要合并

eg

两个0-1分布相加是二项分布

​

两个泊松分布相加是泊松分布

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3.3.2二维连续型随机变量函数的分布

《概率论与数理统计》教学视频全集（宋浩）_哔哩哔哩_bilibili

1.先求分布函数

2.对分布函数求导，得密度函数

eg

中间步骤（二重积分：极坐标）

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1. Z = X + Y

（注1：二重积分的积分区域是长方形时，交换积分次序上下限不变，其他情况要变限）

（注2：Y型更方便求导）

求导得：

卷积公式

卷积公式使用条件

1. Z = X + Y
2. X,Y独立

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例题

X,Y是标准正太分布

两个正太分布相加是正太分布（有公式）

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2. M = max{X,Y} & N = min

X,Y独立

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eg

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