第二章：随机变量及其分布

2.1 随机变量的概念

事件的表示

eg：X（硬币反面朝上）= 1

简化

eg：X = 1 代表硬币反面朝上这个事件

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2.2.1 离散型随机变量及其概率分布

概率图

例题

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2.2.2 连续性随机变量及其概率密度函数

引例

频数直方图

频率密度直方图

性质

当组距趋近于无穷小时：

概率分布密度函数

性质

图像上点的含义

f(x1)表示X取x1附近值时概率的大小

例题

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2.2.2 分布函数的定义

定义

小写的x是实数，大写的X是随机变量，{X<=x}表示事件

性质

观察离散型分布函数图像：从左边逼近函数值不等于极限值，从右边逼近函数值等于极限值

右连续

左连续

公式-对离散型和连续性都成立

F(a-0)是函数在a点的左极限，F(a-0)=P{X<a},F(a)=P{X<=a}

从左边无限接近a但不包含a

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2.2.2 离散型的分布函数

例题

2.重点：根据分布表求离散型的分布函数

套路

由分布函数求概率函数

分布函数的间断点就是随机变量 X 的取值

eg:

P{X=-2}=F(-2)-F(-2-0)=1/2-0

P{X=0}=F(0)-F(0-0)=3/4-1/2

通常通过观察分布函数的图像求值

2.2.2 连续型的分布函数

例题：
1.

2.由连续型概率密度函数求分布函数

对连续型分布函数求导 = 连续型概率密度函数

3.已知连续型分布函数

（1）求A

（用此法求不出）

（根据F(x)是连续的，在x=0处用右连续的条件，求不出A）

（在x=1处用左连续的条件：左极限等于函数值）为什么用左连续：1左边的函数表达式是Ax平方，与要求的相关

（2）求连续型概率密度函数

（3）

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2.2.3 常见随机变量的分布

1.离散型的分布

0-1分布

0-1分布是特殊的二项分布，只做一次实验要么发生要么不发生

几何分布

例题

二项分布

k取何值时P{X=k}最大？

结论：

先计算判断（n+1）p是不是整数

例题：

1.求至少需要安装多少台报警器，n=报警器台数

泊松分布

公式

常见题目背景

如何计算

注意另一种分布表

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如何用泊松分布求二项分布的近似值（即用泊松分布来近似）

适用条件：

例题

要准备多少现金x

$$np<=10可用泊松分布来近似，且\lambda=np=6$$

查表

从k=0开始加，发现加到k=10对应的数后，和大于0.95，说明x/2>=10

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泊松分布例题

1.不超过5次的概率

2.二项分布用泊松分布来近似

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超几何分布

引例

定义

例题

对于不放回抽样实验，当总数N较大，抽样数量n较少时，超几何分布可以近似为二项分布（即抽取n=10粒种子，每个种子的发芽率都为p）

例题

N=10000，n=200，可将超几何分布近似为二项分布

n=200，p=0.01，np=2适中，可将二项分布近似为泊松分布

本题总节

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2.连续性的分布

均匀分布

概率密度函数下方的面积为1

均匀分布的 分布函数

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例题

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指数分布

概率密度函数

指数分布的 分布函数

例题

1.三个元件工作都大于1000小时

无记忆性

某设备寿命为x，在时刻s，能再活t的概率与它现在的年龄s无关，称设备对已使用寿命无记忆性

即：p(活到t年)=p(再活t年|已经活了s年)

eg：p(刚买的灯泡能用一年)=p(用了15年的灯泡再用一年)

例题

画图解释

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正太分布

概率密度函数(小fai)

分布函数(大fai)

性质

标准正太分布

概率密度函数

分布函数

性质

计算：查表

如何将一般的正太分布化为标准的正太分布

概率密度函数的转化

分布函数的转化

公式

例题

2.！

(1)

(2)

方法二

三$\sigma$准则

上$\alpha$分位数

$u_\alpha$:上$\alpha$分位数

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2.3.1 离散型-随机变量函数的分布

例子

2.3.2 连续性-随机变量函数的分布

X的概率密度函数已知，Y是关于X的函数，求Y的概率密度函数

步骤

公式

例题

具体的例子

1.X是均匀分布，Y是X的线性函数,Y=kX+c

结论：

2.X是正太分布，Y是X的线性函数，Y=kX+c

特别的有：

3.X是标准正太分布，Y=X²

定理