第一章：概率论的基本概念

一.一 随机事件

1.1.1 随机实验与随机事件

随机实验

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事件 & 随机事件

随机事件：可能发生也可能不发生的事件，用A,B,C表示

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基本事件 ！

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复合事件 ！

eg：扔色子：点数小于5

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必然事件 & 不可能事件

不可能事件的发生概率为 0，反之不成立

概率为 0 的事件也有可能会发生

eg：往0-1的线段上投质子投到 0.1处的概率为 0 ，但有可能发生

必然事件的发生概率为 1，反之不成立

概率为 1 的事件也有可能不会发生

eg：往【0，1】的线段上投质子投到（0，1）间的概率为 1 ，但有可能不发生

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1.1.2 样本空间与事件的集合表示

样本空间 & 样本点

样本点即为基本事件

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事件的集合表示

色子的点数为偶数点：

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小结

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1.1.3 事件间的关系

包含

一定成立：

事件相等：

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并（和）

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交（积）

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差

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互不相容事件

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对立事件

记作：

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互不相容，对立的联系与区别

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完备事件组

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事件间的运算律 ！

A，B都没发生 = A没发生 且 B没发生

A，B不都发生 = A没发生 或 B没发生

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*无限可列个

可列举例：

不可列举例：

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一.二 事件的概率

1.2.1 概率的初等描述

性质：

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1.2.2 古典概型

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排列组合

排列

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组合

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古典概型性质

缺点：（1）有限个结果（2）等可能性

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1.2.3 几何概型

1.相遇问题

2.蒲丰投针问题

具有完全可加性（古典概型具有有限可加性）

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1.2.4 频率与概率

概率可以理解成理想值，频率是实验值

概率先于频率而客观存在

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1.2.5 公理化 ！

公理

性质

不可能事件的发生概率为 0，反之不成立

概率为 0 的事件有可能会发生

eg：往0-1的线段上投质子投到 0.1处的概率为 0 ，但有可能发生

5.加法性质 ！！！

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一.三 p(AB) = p(A)p(B|A)

1.3.1 条件概率

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1.3.2 乘法公式

ABC都发生 = A发生 & 在A发生的条件下B发生 & 在AB发生的条件下C发生

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一.四 两个公式

1.4.1 全概率公式

分情况讨论用全概率公式

例题1：

例题2：

例题3：

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1.4.2 贝叶斯公式

全概率公式：由因推果

贝叶斯公式：由果推因

先验概率，后验概率

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一.五 独立性

1.5.1 事件的独立性

定义

对称性：A对B独立，B也对A独立

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独立和互不相容的区别

事件的独立和事件互不相容两个概念的区别：

1.互不相容考虑的是事件是否能同时发生。A和B互不相容的意思是A发生B就不可能发生。B发生A就不可能发生，也就是说A和B不能同时发生。

2.独立考虑的是两个事件的关联性，一个事件的发生能否影响另一个事件。A和B独立的意思就是，A发生和B发生没有关系，A发生不会影响B发生，A和B也可能同时发生，不过A和B互不影响。

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三个事件独立

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例题

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1.5.2 伯努利模型

二项概率公式