2020-2021 Winter Petrozavodsk Camp, Day 5

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完全被 Clovers 带飞了。

M. Discrete Logarithm is a Joke

J. Increasing or Decreasing

G. Remove the Prime

I. Trade

签到题。

A. Assignment Problem

直接暴力 dfs 就好了，毛估估一下复杂度 $O(2^{2m}m+n)$。

E. Smol Vertex Cover

首先显然有 $C\geq M$，所以只需要判断是否有 $C=M$ 或 $C=M+1$ 即可。

$M$ 可以用带花树求出。对于 $C=M$ 可以发现一条边两段至少有一个在点集里，考虑对于匹配的点建 2-sat 求解即可。对于 $C=M+1$ 暴力枚举额外选的一个点，然后再跑 2-sat 即可。

复杂度 $O(nm)$。

C. Multiple?

结论：答案为 $\binom{n-1}{k-1}\varphi(n)$。

考虑一个性质：至少有一种数出现次数超过 $\frac n2$。证明：假设非众数数字个数为 $t$，将 $t$ 中数字两两求和，至多少有 $\min\{t,\lfloor\frac{n-k}2\rfloor\}$ 种不同的数。

那么这种数 $x$ 必须有 $(x,n)=1$。考虑令所有数乘上 $x^{-1}$，这样众数就变成 $1$ 了。

容易发现这样要求剩下 $\frac n2-k$ 个数的和不能超过 $\frac n2$，否则一定不合法。

可以发现去掉至少有 $\frac n2$ 个 $1$ 的限制，总共 $\frac 34 n$ 个数的和不能超过 $n$ 同样有至少 $\frac n2$ 个 $1$。

所以最后就是一个插板，组合数暴力计算可以通过。

B. Lockout vs tourist

枚举当前已经选掉哪些点，从后往前，这样可以知道当前如果和对手选一样的结果，期望会是多少。

令 $B_i$ 为与对手选了一样的之后的期望，令 $q_i$ 为对方决策为 $i$ 的期望。在 $q_i$ 没有限制的情况下，根据纳什均衡容易得到：存在常数 $k$ 满足

$$\forall i,A_i+q_i(B_i-A_i)=k\\ $$

根据纳什均衡，$k$ 即最大收益。

$$q_i=\frac{A_i-k}{A_i-B_i}$$

$$\sum q_i=1\Longrightarrow \sum\frac{A_i-k}{A_i-B_i}=1$$

$$k=\frac{\sum\frac{A_i}{A_i-B_i}-1}{\sum\frac{1}{A_i-B_i}}$$

因为 $q_i$ 有不为负的限制，所以最后如果 $A_i\leq k$，那么直接放弃之后的所有点（换句话说对手不会去管这些点）。如果 $A_i\leq k,B_i\geq A_i$，那么对手放了还不如不放，同样会放弃，不过此时应该令 $k=A_i$。

复杂度 $O(2^nn\log n)$。

L. Extreme Wealth

考虑 dp，用 $f_{i,j}$ 表示还有 $i$ 个红色和 $j$ 个蓝色的期望倍率，不妨假设 $i<j$。假设当前钱数是 $1$，赌了蓝色 $x$ 的钱（负数表示赌红色），期望收益是：

$$\frac{j}{i+j}f_{i,j-1}(1+x)+\frac{i}{i+j}f_{i-1,j}(1-x)$$

要么 $x=-1$ 要么 $x=1$。（细思极恐）

算一算发现决策没有影响。换句话说一直摸鱼直到袋子里只有一种颜色的球然后 all in 即可。

所以最后贡献就是

$$\frac{2^{n+m}}{\binom{n+m}{n}}$$

正经做法：考虑 $n=m$ 时可以斯特林公式近似，对于其余情况可以发现每 $\sqrt V$ 至少 $\times 2$，所以直接暴力乘过去即可。

暴力做法：

$$\frac{2^{n+m}}{\binom{n+m}{n}}=e^{(n+m)\ln2+\ln{n!}+\ln{m!}+\ln{(n+m)!}}$$

$\ln{n!}$ 有一个非常牛逼的近似。直接用 python 计算即可。