2017 Chinese Multi-University Training, BeihangU Contest

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A. Add More Zero

K. KazaQ's Socks

B. Balala Power!

L. Limited Permutation

签到题。

C. Colorful Tree

赛时想了一个很 simple 的做法：考虑点分，每种颜色分开处理贡献，一个点有贡献当且仅当其到点分中心路径上没有同色点。贡献可以通过容斥算出。复杂度 $O(n\log n)$，卡一卡常可以通过。

标算给的是对每种颜色维护一个序列表示所有该颜色对应子树和，dfs 过程中维护。

F. Function

手模一下可以发现 $a$ 中每个置换环需要映射到 $m$ 中一个置换环，并且环长是倍数关系。

将 $m$ 里所有的环长找出来，可以求出 $n$ 的每个长度的置换环可行匹配数，相乘即可。

H. Hints of sd0061

毛估估一下可以发现 $b$ 总共只有 $O(\log n)$ 个取值。并且所有本质不同询问的和是 $O(n)$ 的。所以直接调用库函数的 nth_element ，由于 $a$ 数组是随机的，能期望在 $O(n)$ 时间解决。

J. Journey with Knapsack

首先额外 $m$ 物品先不管，假如前面的物品总大小为 $i$ 的方案数为 $f_i$，那么最后就是 $\sum f_{2n-b_i}$。

对于前面的部分，考虑生成函数：

$$F(x)=\prod_{i=1}^{n}(1+x^i+x^{2i}+\cdots+x^{a_ii})$$

$$=\prod_{i=1}^{n}\left(1-x^{i(a_i+1)}\right)\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{1-x^i}$$

前面的式子只有 $O(\sqrt n)$ 项有值，直接暴力卷上去即可。后面是经典的拆分数，可以直接用五边形数处理，然而事实上可以直接根号分治，对于前 $O(\sqrt n)$ 暴力 dp，对于后面整体转移 $O(\sqrt n)$ 遍即可。

复杂度 $O(n\sqrt n)$。

I. I Curse Myself

首先把所有环取出来，每个环可以删一条边。这样问题转化成：给定若干组物品，每组选恰好一个，问第 $k$ 大的选择是什么。

一个显然的想法是直接将每组物品排序，用 $n$ 元组 $(i_1,i_2,\cdots,i_n)$ 表示每组物品的最大值，每次取出最大的物品然后每组物品分别向后增广 $1$，可以得到 $n$ 个可能的待选值。这样时间复杂度是 $O(nk)$，但是空间也是 $O(nk)$，不大行。

考虑换种思路，依次处理每组物品，维护一个堆表示此时前 $k$ 大的物品。转移的时候类似记录，复杂度 $O(nk\log n)$，空间 $O(n+k)$ 的。事实上仔细分析可以发现设 $c_i$ 为第 $i$ 个环长，复杂度为 $O(k\sum\log c_i)=O(k\log(\prod c_i))=O(k\log 2^n)=O(nk)$。

D. Division Game

由于所有石子堆是相同的，令 $f(x)$ 表示一堆石子取 $x$ 次后恰好取完的方案数。可以发现无论何时都可以将一堆石子取至一颗，所以 $x$ 次没有取完的方案数就是 $f(x+1)$。这样对于第 $i$ 堆石子的答案就是 $f(x+1)^{i-1}f(x)^{k-i+1}$。

考虑求出 $f$。相当于是有 $m$ 堆石子，第 $i$ 堆是 $e_i$，每次至少取一颗，问 $x$ 次取完的方案数。

如果没有每次至少取一颗的限制，方案数可以对每堆石子分开计算，即：

$$g(x)=\prod_{i=1}^m\binom{e_i+x-1}{x-1}$$

对于每次至少取一颗的限制可以容斥，得到式子为：

$$f(x)=\sum_{i=0}^{x}(-1)^{x-i}g(i)\binom{x}{i}$$

$$f(x)=x!\sum_{i=0}^{x}\frac{(-1)^{x-i}}{(x-i)!}\frac{g(i)}{i!}$$

这可以看作卷积，而 $985661441$ 恰好是 NTT 模数。设 $n=\sum e_i$，复杂度 $O(n\log n)$。