AtCoder Grand Contest 017

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C. Snuke and Spells

容易发现合法序列排序后一定是若干段值域连续的部分组成：

可以发现最小次数就是重叠/空出的部分大小。

每次修改只会对 $O(1)$ 个点 $±1$，直接维护即可。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#define N 200010
using namespace std;
int a[N],c[N],r[N];
int ans=0;
void add(int x){if(r[x]<=1){--r[x];return;}c[--r[x]]++;if(c[r[x]]==1) ++ans;}
void del(int x){if(r[x]<=0){++r[x];return;}if(c[r[x]]==1) --ans;c[r[x]++]--;}
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) r[i]=i+1;
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),add(a[i]);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);
        del(a[x]);a[x]=y;add(a[x]);
        printf("%d\n",n-ans);
    }
    return 0;
}

D. Game on Tree

考虑每个子树分别计算 SG 值。令 $f_i$ 表示以 $i$ 为根的子树（不能删 $i$）的 SG 值。

可以发现在不能删 $i$ 情况下，所有子树都等价于一个子问题，所以可以直接异或。

对于子树从不能删根到能够删根，容易发现本质是将子树所有 SG +1 并加上一个 $0$ 元素，所以 $\text{mex}$ 就是 $f_v+1$。

故 $f_u=\bigoplus(f_v+1)$。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#define N 200010
using namespace std;
int a[N],c[N],r[N];
int ans=0;
void add(int x){if(r[x]<=1){--r[x];return;}c[--r[x]]++;if(c[r[x]]==1) ++ans;}
void del(int x){if(r[x]<=0){++r[x];return;}if(c[r[x]]==1) --ans;c[r[x]++]--;}
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) r[i]=i+1;
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),add(a[i]);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);
        del(a[x]);a[x]=y;add(a[x]);
        printf("%d\n",n-ans);
    }
    return 0;
}

E. Jigsaw

考虑如果 $c=0$ 令其左权值为 $(a,0)$，否则为 $(c,1)$，右权值若 $d=0$ 为 $(b,1)$ 否则为 $(d,0)$，可以发现这等价于在左权值与右权值之间连了一条边，最后要求找一个环满足所有边被恰好经过一次。可以发现这就是欧拉回路。

欧拉回路的充要条件是所有点入度=出度且图弱联通。

注意 $(a,0)$ 与 $(b,1)$ 之间是可以任意转化的，考虑建一个特殊点，可以发现每个 $(a,0)$ 缺少的出度是唯一的，缺少的出度只能连向特殊点，$(b,1)$ 同理。

复杂度 $O(n)$。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define N 100010
using namespace std;
int f[N],id[N],od[N];
int find(int x){return f[x]==x?f[x]:(f[x]=find(f[x]));}
void merge(int x,int y){f[find(x)]=find(y);}
void add(int x,int y){merge(x,y);id[y]++;od[x]++;}
int main()
{
    int n,h;
    scanf("%d%d",&n,&h);
    int m=h*2+1;
    for(int i=1;i<=m;i++) f[i]=i;
    for(int i=1,a,b,c,d;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);
        if(c==0 && d==0) add(a,b+h);
        else if(c==0) add(a,d);
        else if(d==0) add(c+h,b+h);
        else add(c+h,d);
    }
    for(int i=1;i<=h;i++) if(od[i]<id[i]){puts("NO");return 0;}
    for(int i=h+1;i<m;i++) if(od[i]>id[i]){puts("NO");return 0;}
    for(int i=1;i<m;i++) if(od[i]!=id[i]) merge(i,m);
    if(find(m)!=find(1)){puts("NO");return 0;}
    for(int i=1;i<m;i++) if((od[i] || id[i]) && find(i)!=find(1)){puts("NO");return 0;}
    puts("YES");
    return 0;
}

F. Zigzag

咕咕咕