两圆相交到两球相交

首先，定义一些东西

const double PI = acos(-1.0);
typedef struct point {
	double x,y;
	point() {
	}
	point(double a, double b) {
		x = a;
		y = b;
	}
	point operator -(const point &b)const {		//返回减去后的新点
		return point(x - b.x, y - b.y);
	}
	point operator +(const point &b)const {		//返回加上后的新点
		return point(x + b.x, y + b.y);
	}
	point operator *(const double &k)const {	//返回相乘后的新点
		return point(x * k, y * k);
	}
	point operator /(const double &k)const {	//返回相除后的新点
		return point(x / k, y / k);
	}
	double operator ^(const point &b)const {	//叉乘
		return x*b.y - y*b.x;
	}
	double operator *(const point &b)const {	//点乘
		return x*b.x + y*b.y;
	}
}point;
typedef struct circle {//圆
	double r;
	point centre;
}circle;

double dist(point p1, point p2) {		//返回平面上两点距离
	return sqrt((p1 - p2)*(p1 - p2));
}

• 两圆相交
  两圆关系，可以根据圆心距离和半径的关系来判断，现在只考虑相交的情况，即圆心距$L$在两圆半径之和$|r_1+r_2|$及两圆半径之差$|r_1-r_2|$之间。
  如上图所示，已知$r_1,r_2,L$那就可以得到很多东西。
  根据勾股定理，可以得到
  $r_1^2-h_1^2=l_1^2$
  $r_2^2-h_1^2=l_2^2$
  $L=l_1+l_2$
  联立推出
  $h_1=\sqrt{r_1^2-(\frac{L^2+r_1^2-r_2^2}{2L})^2}$
  $h_1=\sqrt{r_2^2-(\frac{L^2+r_2^2-r_1^2}{2L})^2}$
  $h_1=h_2$
• 有了这个就可以算两圆相交的弧长了，但是需要先算出角度

用余弦公式可以算出$angle_a$和$angle_b$
$cos(angle_a)=\frac{r_1^2+L^2-r_2^2}{2Lr_1}$
$cos(angle_b)=\frac{r_2^2+L^2-r_1^2}{2Lr_2}$
但是实际相交的弧长所对应的圆心角是上述所求角的两倍，所以乘以2。
最后利用弧长公式即可计算两圆相交部分的弧长。
弧长=$Pi$*对应圆心角(弧度制)

void CircleInterLen(circle a, circle b, double &la, double &lb) {
	double d = dist(a.centre, b.centre);//圆心距
	double t = (d*d + a.r*a.r - b.r*b.r) / (2.0 * d);//
	double h = sqrt((a.r*a.r) - (t*t)) * 2;//h1=h2
	double angle_a = 2 * acos((a.r*a.r + d*d - b.r*b.r) / (2.0 * a.r*d));  
	//余弦公式计算r1对应圆心角，弧度
	double angle_b = 2 * acos((b.r*b.r + d*d - a.r*a.r) / (2.0 * b.r*d));  
	//余弦公式计算r2对应圆心角，弧度
	la = angle_a*a.r;//r1所对应的相交弧长
	lb = angle_b*b.r;//r2所对应的相交弧长
	//double rest_la = 2.0 * PI * a.r - la;//r1圆剩余部分弧长
	//double rest_lb = 2.0 * PI * b.r - lb;//r2圆剩余部分弧长
}

剩下部分的弧长只需要用原来的弧长相减就行。

• 再看相交部分的面积:

扇形面积公式:$S=\frac{lr}{2}$(l为弧长，r为半径)=$\frac{nr^2}{2}$(n为圆心角，弧度制)
相交部分面积包含扇形减去三角形的面积

void CircleInterArea(circle a, circle b,double &s1,double &s2) {
	double d = dist(a.centre, b.centre);//圆心距
	double t = (d*d + a.r*a.r - b.r*b.r) / (2.0 * d);//
	double h = sqrt((a.r*a.r) - (t*t)) * 2;//h1=h2
	double angle_a = 2 * acos((a.r*a.r + d*d - b.r*b.r) / (2.0 * a.r*d));  
	//余弦公式计算r1对应圆心角，弧度
	double angle_b = 2 * acos((b.r*b.r + d*d - a.r*a.r) / (2.0 * b.r*d));  
	//余弦公式计算r2对应圆心角，弧度
	double la = angle_a*a.r;//r1所对应的相交弧长
	double lb = angle_b*b.r;//r2所对应的相交弧长
	s1 = la*a.r / 2.0 - a.r*a.r*sin(angle_a) / 2.0;	//相交部分r1圆的面积
	s2 = lb*b.r / 2.0 - b.r*b.r*sin(angle_b) / 2.0;	//相交部分r2圆的面积
	double rest_s1 = PI*a.r*a.r - s1 - s2;//r1圆剩余部分面积，不含相交部分面积
	double rest_s2 = PI*b.r*b.r - s1 - s2;//r2圆剩余部分面积，不含相交部分面积
}

下面考虑两球相交：

相交部分如下:

但实际上，如果将其投影至平面，还是刚才的样子

从上可以知道，相交部分体积是两个球缺的和。
球冠面积$S=2πrh$
球缺的体积公式为$V=πh^2(r-\frac{h}{3})$
$h$球冠高
$r$球半径

两球心距离=$L$ 半径分别为$r_1 r_2$
$|r_1- r_2|< L< |r_1+ r_2|$
两球相交的截面为平面，相交线为圆半径为$r_3$
截面到球心的距离分别为$l_1 l_2$
$l_1+l_2=L$
$L$直线过相交圆心并垂直相交圆直径

$r_1^2=r_3^2+l_1^2$
$r_2^2=r_3^2+l_2^2$

$r_1^2-r_2^2=l_1^2-l_2^2$
$r_1^2-r_2^2=(l_1+l_2)(l_1-l_2)$
$r_1^2-r2^2=(2l_1-L)L$
$l_1=[(r_1^2-r_2^2)/L+L]/2$
$l_2=L-l_1$

$x_1=r_1-l_1$
$x_2=r_2-l_2$

typedef struct point {
	double x,y,z;
	point() {

	}
	point(double a, double b,double c) {
		x = a;
		y = b;
		z = c;
	}
	point operator -(const point &b)const {		//返回减去后的新点
		return point(x - b.x, y - b.y,z-b.z);
	}
	point operator +(const point &b)const {		//返回加上后的新点
		return point(x + b.x, y + b.y,z+b.z);
	}
	//数乘计算
	point operator *(const double &k)const {	//返回相乘后的新点
		return point(x * k, y * k,z*k);
	}
	point operator /(const double &k)const {	//返回相除后的新点
		return point(x / k, y / k,z/k);
	}
	double operator *(const point &b)const {	//点乘
		return x*b.x + y*b.y+z*b.z;
	}
}point;
double dist(point p1, point p2) {		//返回平面上两点距离
	return sqrt((p1 - p2)*(p1 - p2));
}
typedef struct sphere {//球
	double r;
	point centre;
}sphere;
void SphereInterVS(sphere a, sphere b,double &v,double &s) {
	double d = dist(a.centre, b.centre);//球心距
	double t = (d*d + a.r*a.r - b.r*b.r) / (2.0 * d);//
	double h = sqrt((a.r*a.r) - (t*t)) * 2;//h1=h2，球冠的高
	double angle_a = 2 * acos((a.r*a.r + d*d - b.r*b.r) / (2.0 * a.r*d));  //余弦公式计算r1对应圆心角，弧度
	double angle_b = 2 * acos((b.r*b.r + d*d - a.r*a.r) / (2.0 * b.r*d));  //余弦公式计算r2对应圆心角，弧度
	double l1 = ((a.r*a.r - b.r*b.r) / d + d) / 2;
	double l2 = d - l1;
	double x1 = a.r - l1, x2 = b.r - l2;//分别为两个球缺的高度
	double v1 = PI*x1*x1*(a.r - x1 / 3);//相交部分r1圆所对应的球缺部分体积
	double v2 = PI*x2*x2*(b.r - x2 / 3);//相交部分r2圆所对应的球缺部分体积
	 v = v1 + v2;//相交部分体积
	double s1 = PI*a.r*x1;  //r1对应球冠表面积
	double s2 = PI*a.r*x2;	//r2对应球冠表面积
	 s = 4 * PI*(a.r*a.r + b.r*b.r) - s1 - s2;//剩余部分表面积
}