2018 Wannafly summer camp Day8--区间权值

区间权值
小Bo有 $n$ 个正整数 $a_1$ …… $a_n$ ,以及一个权值序列 $w_1$ …… $w_n$ ,现在她定义 $f(l,r)=(\sum_{i=l}^r a_i^2) *w_{r-l+1}$ 。
现在他想知道 $\sum_{l=1}^n \sum_{r=l}^n f(l,r)$ 的值，需要你来帮帮他，你只需要输出答案对 $10^9+7$ 取模后的值。
输入格式
第一行一个正整数 $n$
第二行 $n$ 个整数 $a_1$ …… $a_n$
第三行 $n$ 个整数 $a_1$ …… $a_n$
输出格式
输出答案 $10^9+7$ 取模
样例输入
3
1 1 1
1 1 1
样例输出
10
数据范围
$1<=n<=3*10^5$
$1<=a_i<=10^7$
$1<=w_i<=10^7$

思路：
将 $f(l,r)=(\sum_{i=l}^r a_i^2) *w_{r-l+1}$ 展开如下:

(\begin{matrix} a_{1} w_{1} & \dots \dots \\ (a_{1} + a_{2}) w_{2} & a_{2} w_{1} & \dots \dots \\ (a_{1} + a_{2} + a_{3}) w_{3} & (a_{2} + a_{3}) w_{2} & a_{3} w_{1} & \dots \dots \\ (a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}) w_{4} & (a_{2} + a_{3} + a_{4}) w_{3} & (a_{3} + a_{4}) w_{2} \\ \dots \dots & \dots \dots & \dots \dots \\ (a_{1} + a_{2} + \dots \dots + a_{n}) w_{n} & (a_{2} + \dots \dots + a_{n}) w_{n - 1} & \dots \dots & a_{n} w_{1} \end{matrix})

$\begin{pmatrix} a_1w_1 & ……\\ (a_1+a_2)w_2 & a_2w_1 & …… \\ (a_1+a_2+a_3)w_3 & (a_2+a_3)w_2 & a_3w_1 & ……\\ (a_1+a_2+a_3+a_4)w_4 & (a_2+a_3+a_4)w_3 & (a_3+a_4)w_2 \\ …… & …… & ……\\ (a_1+a_2+……+a_n)w_n & (a_2+……+a_n)w_{n-1} & …… & a_nw_1 \\ \end{pmatrix}$

从第一列可以想到前缀和，所以先求出前缀和 $f[i](0<=i<=n)$

(\begin{matrix} (f_{1} - f_{0}) w_{1} & \dots \dots \\ (f_{2} - f_{0}) w_{2} & (f_{2} - f_{1}) w_{1} & \dots \dots \\ (f_{3} - f_{0}) w_{3} & (f_{3} - f_{1}) w_{2} & (f_{3} - f_{2}) w_{1} & \dots \dots \\ (f_{4} - f_{0}) w_{4} & (f_{4} - f_{1}) w_{3} & (f_{4} - f_{2}) w_{2} \\ \dots \dots & \dots \dots & \dots \dots \\ (f_{n} - f_{0}) w_{n} & (f_{n} - f_{1}) w_{n - 1} & \dots \dots & (f_{n} - f_{n - 1}) w_{1} \end{matrix})

$\begin{pmatrix} (f_1-f_0)w_1 & ……\\ (f_2-f_0)w_2 & (f_2-f_1)w_1 & …… \\ (f_3-f_0)w_3 & (f_3-f_1)w_2 & (f_3-f_2)w_1 & ……\\ (f_4-f_0)w_4 & (f_4-f_1)w_3 & (f_4-f_2)w_2 \\ …… & …… & ……\\ (f_n-f_0)w_n & (f_n-f_1)w_{n-1} & …… & (f_n-f_{n-1})w_1 \\ \end{pmatrix}$

然后将 $w_i$ 相同的项合(可以相互消去)并描绘得到下面的东西,为了方便，我还是用矩阵表示

(\begin{matrix} (f_{n}) w_{1} \\ (f_{n} + f_{n - 1} - f_{1}) w_{3} \\ (f_{n} + f_{n - 1} + f_{n - 2} - f_{1} - f_{2}) w_{3} \\ (f_{n} + f_{n - 1} + f_{n - 2} + f_{n - 3} - f_{1} - f_{2} - f_{3}) w_{4} \\ \dots \dots \dots \dots \\ （ f_{n} + f_{n} - 1 + \dots \dots - f_{1} - f_{2} - \dots \dots f_{n - 1} ） w_{n} \end{matrix})

$\begin{pmatrix} (f_n)w_1 \\ (f_n+f_{n-1}-f_1)w_3\\ (f_n+f_{n-1}+f_{n-2}-f_1-f_2)w_3\\ (f_n+f_{n-1}+f_{n-2}+f_{n-3}-f_1-f_2-f_3)w_4\\ ………… \\ （f_n+f_n-1+……-f_1-f_2-……f_{n-1}）w_n \end{pmatrix}$

现在敲是会TLE的，复杂度太高
所以再考虑一次 $f_i$ 的前缀和 $g_i$ ,
上面就可以将 $f_i$ 转换成 $g[n]-g[n-i]-g[i-1]$ ，
还有一个问题，由于有减法，所以可能答案出现负数，所以最后需要加模再取模。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mo=1e9+7;
const int maxn=3e5+5;
ll a[maxn],w[maxn],f[maxn],g[maxn],ans=0;
int main()
{
	int n;
	scanf("%d",&n);
	g[0]=f[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
        f[i]=a[i]+f[i-1];
        g[i]=(f[i]+g[i-1])%mo;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++){
        ans=(ans+(g[n]-g[n-i]-g[i-1])*w[i]%mo)%mo;
    }
    cout<<(ans+mo)%mo<<endl;
    return 0;
}