博弈论笔记--04--足球比赛与商业合作之最佳对策

Game One--点球
点球案例
在一次足球比赛罚点球时，罚球队员可以选择L,M,R三种不同射门路径；门将可以选择扑向左路或者右路（原则上讲他也可以守在右路）。

direction	L	R
L	4,-4	9,-9
M	6,-6	6,-6
R	9,-9	4,-4

Lesson:绝不选择在任何情况下都不是最佳反应的策略当然这个缺少很多限制，所以结论并不准确。比如点球射门时，排除丢失的情况下，力度上升精度就会有所下降

最佳反应（经常缩写为 $BR$ ）：
Player(i)选的的 $si^*$ 策略就是对于其他博弈者选择 $S-i$ 策略的最佳反应，其条件是 $U_i$ ( $Si^*$ )--博弈者i选择策略i而非 $S-i$ 获得的收益比选择其他策略(即 $Si'$ )更高时，此处所有的 $Si'$ 策略都适用于博弈者 $i$
或者定义为： $Si^*$ （Player(i)的策略）等于max $U_i$ (s- $s_i$ ),即别人选择 $S-i$ 时的最大收益
博弈者i的策略，对于其他博弈者的选择，所持有的信念P的最佳反应，条件是博弈者i在坚持信念 $P$ 的情况下选择的期望收益大于选择其他策略--- $E$ ( $u_i$ )( $si^*$ , $P$ ） $>=E$ ( $u_i$ )( $S-i$ , $p$ ）
期望收益=各项收益乘以对应概率 $E=$ $X_i$ * $P_i$ （i~n）

合作关系博弈：两个人要为一个合办项目进行投资，届时将利润进行均摊。
转换为:
1. 两个代理人(博弈者)投资一个公司，没人分的50%利润，
同时每个代理人将根据自己的能力(努力程度)对公司进行投资
（S[0,4]代表贡献值，可以选择0~4这个闭区间之间任意的一个实数）
2. 利润公式为=4( $s_1$ + $s_2$ +b $s_1$ $s_2$ ),其中b为一个相关参数，假设b=[0,1/4],并且一已知。
3. 从公式2可以看出多人合作会有协同作用，收益加成
4. $U_1$ （ $S_1$ , $S_2$ ）= $1/2$ ( $4$ ( $s_1$ + $s_2$ + $b$ $s_1$ $s_2$ )) $-$ $s_1^2$ ,
其中S1^2是投资成本，即为投入部分
$U_2$ （ $S_1$ , $S_2$ ）= $1/2$ ( $4$ ( $s_1$ + $s_2$ + $b$ $s_1$ * $s_2$ )) $-$ $s_2^2$ ,
其中S1^2是投资成本，即为投入部分

对于Player2每种可能的选择 $S_2$ ，如何找到Player1会做的和后最佳反应？
由于此时的策略有无穷个，所以需要微积分。
1.求 $u_1$ 的最大值，对u1求导，且ui=0,此时s1为自变量
即 $U_1$ =2( $s_1$ + $s_2$ + $b$ $s_1$ $s_2$ ) $-$ $s_1^2$ =2 $(1+$ $b$ $s_2$ $)-$ $2$ $s_1$ =0
即一阶导数为0，解的 $s_1=1+b*s_2$ ;
求二阶导数=-2<0，则可知所求为最大值.