博弈论笔记--03--迭代剔除和中位选民定理

1. 迭代剔除策略:先站在所有人的角度，删除所有的劣势策略，然后重复这个过程。

2. Game One--中间选民定理的例子
   博弈者：2个Players需要选择自己的政治立场。
   策略选项：一共有1-10种政治立场，每种都有10%的选民支持。
   收益:候选者要最大化取得选票，他们需要胜利。
   1代表极端左派(保守)，10代表极端右派(激进)
   这些选民最终会选择最接近他们的候选人进行投票。
   这个博弈不会出现平局。
   分析：
   这里存在一个劣势策略，那就是选择立场1。
   选择了立场1，收益没有其他立场收益高。
   比如：
   V1 $u_i$(1,1) = 50%,$u_i$(2,1) = 90%
   V2 $u_i$(1,2) = 10%,$u_i$(2,2) = 50%
   V3 $u_i$(1,3) = 15%,$u_i$(2,3) = 20%
   V4 $u_i$(1,4) = 20%,$u_i$(2,4) = 25%
   …………
   同理可以得到另一个劣势策略，那就是选择立场10
   结论：此时立场2严格优于1，立场9严格优于10
   以此类推，迭代删除最终会得到的优势策略为立场5和立场6.
   这个模型在政治学中叫做"中间选民定理"
   预测了候选人将会向中间立场靠拢。
   缺陷:
   1.现实中有多名候选人，不只是两名
   2.候选人的立场可能不坚定，不能承诺政策实施
   3选择候选人的时侯是包含其他维度(条件)的，比如选民喜好等
   4.选民的投票不是均匀分布的(但是实际不影响结果)
   5.选民可能会弃权
   Conclusion:
   模型都是抽象的

3. 对于上面的例子是否立场3严格优于立场2？
   由于U1(2,1)=90% < U1(3,1)=85%
   所以立场3不严格优于立场2
   但是当我们已经明确候选人已经不会选择立场1和立场10这两个严格劣势策略的时候，
   立场3才严格优于立场2。
   这里只是相当与去掉了立场1和立场10，但是选票和选民依然存在。
   V2 $u_i$(2,2) = 50%, $u_i$(3,2) = 80%
   V3 $u_i$(2,3) = 20%, $u_i$(3,3) = 50%
   V4 $u_i$(2,4) = 25%, $u_i$(3,4) = 30%
   V5 $u_i$(2,5) = 30%, $u_i$(3,5) = 35%
   V6 $u_i$(2,6) = 35% ,$u_i$(3,6) = 40%
   V7 $u_i$(2,7) = 40% ,$u_i$(3,7) = 45%
   V8 $u_i$(2,8) = 45%, $u_i$(3,8) = 50%
   V9 $u_i$(2,9) = 50% ,$u_i$(3,9) = 55%
   …………

4. A different approach :Best Response
   Game Two--Player1会选择上中下，Player2可以选择左右，
   收益如下：

P1/P2	L	R
U	5,1	0,2
M	1,3	4,1
D	4,2	2,3
如果是Player1,他的BR(Best Response)？
选择"上"是对应Player2选择"左"的最佳选择
选择"中"是对应Player2选择"右"的最佳选择
当对手选择左右的概率相等的时候，此时最好的选择是下。
Ui(u)=0.55+50=2.5收益
Ui(M)=10.5+40.5=2.5收益
Ui(D)=0.54+0.52=3收益
但是情况可能不一样，比如Player2选择左右的概率为pos1,pos2时就需要重新计算。
假设Player2选择右的概率为$P_x$,收益如下：
$u(U,L)$ = $(1-P_x)$* 5 + 0 * $P_x$= 5*$P_x$
$u(D,L)$ = $(1-P_x)$ * 1 + 4 * $P_x$ = 4 - 3 * $P_x$
$u(M,L)$ = $(1-P_x)$* 4 + 2 * $P_x$ = 2 + 2 * $P_x$
所以画图表示如下：
其中$P_1$=$u(U,L)$,$P_2$=$u(D,L)$ ,$P_3$=$u(M,L)$,横坐标表示Player2选择左的概率。
如果认为对方选择右(R)的概率小于x的话，BR=U，相对的，如果概率大于y时，
BR=M，如果概率落在$x$~$y$之间，则BR=D。
联立三个直线方程，可以求得
$x=1/3$,$y=2/3$