博弈论笔记--02--学会换位思考

1.博弈的要素

博弈者( $players_i,j$ ),
策略(strategy)-- $s_i$ (带有i小写s)= $player_i$ 特有的策略),
$S_i$ (带有i的大写S)=博弈者i可能策略的集合={1,2,3 ……},
$s$ (没有i的小写s)--博弈中的某一局,策略组合，策略向量，当前i的实际策略
$s-i$ 表示除了i之外的其他博弈者的选择
收益-- $u$ --博弈者i的收益
符号表示： $u_i$ （ $s_1$ ， $s_2$ …… $s_n$ ）,简写为 $Ui_s$ 表示当前收益

2.Game One--严格优势策略

P1/P2	L	C	R
T	5,-1	11,3	0,0
B	6,4	0,2	2,0
Player1:S[i]=
Player2:S[i]=
U1(T,C)=11
U2(T,C)=3

Player1此时没有优势策略，因为此时选择上不能总是优于选择下，
同时选择下不能总是优于上。

导出：
严格优势策略(定义):
Player1的策略 $s_i$ 严格优于另一个策略也 $s'_i$ ,
如果其他人选择 $s_i$ 时，博弈者选择 $s_i$ 的
收益 $u_i$ ( $s_i$ )严格大于同样的情况下选择 $s'_i$ 的收益 $u_i$ ( $s'_i$ ),
对所有的 $s_i$ 均成立。

3.Game Two--比较优势策略

现在两条路，必须通过其中一个才能进入国家，你需要决定在那条路上布置防线，
只能防守其中一条路。其中一条路陡峭，敌人通过会损失一个营的兵力，另一条平坦，无损失。
无论敌人怎么选择，一旦他遇上了你的军队，他将再损失一个营的兵力。

(守，攻)	Easy	Hard
Easy	1,1	1,1
Hard	0,2	2,0
收益分析：
进攻者收益为到达国家的兵力，一开始有两个营的兵力，防守者的收益为进攻者折损的兵力。
导出定义:
比较优势策略：
$Player1$ 的策略 $s_i$ 比较优于" $s'_i$ "：
如果在对手选择策略 $s_i$ 时， $Player1$ 选择策略" $s_i$ "的收益大于等于在对手选择策略" $s_i$ "时他选择你" $s'_i$ "的收益，并且对所有的" $s_i$ "都成立。
对手选择" $s_i$ "时候 $Player1$ 博弈者选择" $s_i$ "的收益严格优于对手选择" $s_i$ "时选择其他策略" $s'_i$ "的收益，至少在某一种情况下成立。
即 $u_i$ ( $s_i$ , $s_i$ )>= $u_i$ ( $s'_i$ , $s_i$ ) 所有的" $s_i$ "都成立。
And $u_i$ ( $s_i$ , $s_i$ )> $u_i$ ( $s'_i$ , $s_i$ ) 在至少一种情况下(严格占优)。

4.Game Five--重复剔除策略

简单数字游戏：每个人写一个1到100之间的数字（包含1和100），
然后求出所有数字的平均值，如果所写的数字是最接近改平均数的二分之一，那么就胜出。

简化游戏，只有10个人，如果每个人都写100，平均数为100，一半为50，所以写的数字应该不会超过50才能赢，但是如果别人也这么想的话，那么写25才会赢，以此类推，12或者13，6或者7，一直到1，最终结果应该是每个人都写1。
但是这样就有一个游戏前提，每个人都必须足够理智，同时拥有差不太多的思考方式，不感性游戏的。
结论：博弈的核心是在于整体思维基础上的理性换位思考，用他人的得以去推测他人的策略，从而选择最有利于自己的策略。