快速幂取模算法

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在Miller Rabbin测试素数，就用到了快速幂取模的思想。这里总结下。
求a^b%c（这就是著名的RSA公钥的加密方法），当a,b很大时，直接求解这个问题不太可能
算法1：利用公式a*b%c=((a%c)*b)%c,这样每一步都进行这种处理，这就解决了a^b可能太大存不下的问题，但这个算法的时间复杂度依然没有得到优化
代码如下：

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int modexp_simple(int a,int b,int n)       
{      
    int ret = 1;  
    while (b--)  
    {  
        ret = a * ret % n;  
    }  
    return ret;  
}    

算法2：另一种算法利用了二分的思想，可以达到O(logn)。
可以把b按二进制展开为：b = p(n)*2^n + p(n-1)*2^(n-1) +…+ p(1)*2 + p(0)
其中p(i) (0<=i<=n)为 0 或 1

**这样 a^b = a^ (p(n)*2^n + p(n-1)*2^(n-1) +…+ p(1)*2 + p(0))
= a^(p(n)2^n) a^(p(n-1)2^(n-1)) …* a^(p(1)2) a^p(0)
对于p(i)=0的情况, a^（p(i) * 2^(i-1) ） = a^0 = 1,不用处理
我们要考虑的仅仅是p(i)=1的情况
化简：a^(2^i) = a^(2^(i-1) * 2) = ( a^( p(i) * 2^(i-1) ) )^2**
（这里很重要！！具体请参阅秦九韶算法：http://baike.baidu.com/view/1431260.htm）
利用这一点，我们可以递推地算出所有的a^(2^i)
当然由算法1的结论，我们加上取模运算：
a^(2^i)%c = ( (a^(2^(i-1))%c) * a^(2^(i-1))) %c
于是再把所有满足p(i)=1的a^(2^i)%c按照算法1乘起来再%c就是结果， 即二进制扫描从最高位一直扫描到最低位
实例代码：递归

[cpp] view plain copy
//计算a^bmodn       
int modexp_recursion(int a,int b,int n)       
{      
    int t = 1;  

    if (b == 0)  
        return 1;  

    if (b == 1)  
         return a%n;  

    t = modexp_recursion(a, b>>1, n);  

    t = t*t % n;  

    if (b&0x1)  
    {      
        t = t*a % n;  
    }  

    return t;  
 }   

实例代码2：非递归优化

[cpp] view plain copy
#include <iostream>     
using namespace std;     

//计算a^bmodn     
int modexp(int a,int b,int n)     
{     
    int ret=1;     
    int tmp=a;     
    while(b)     
    {     
       //基数存在     
       if(b&0x1) ret=ret*tmp%n;     
       tmp=tmp*tmp%n;     
       b>>=1;     
    }     
    return ret;     
}     

int main()     
{     
    cout<<modexp(2,10,3)<<endl;     
    return 0;     
}    

原文：http://kmplayer.javaeye.com/blog/601578