Computer Graphics note(2):视图变换&投影变换

目录

• 一.前提
• 二.视图变换
  • 1.推导过程
• 三.投影变换
  • 1.正交投影(右手系)
  • 2.透视投影
    • (1)视锥定义
    • (2)怎么做透视投影$M_{persp}=M_{ortho}M_{persp->ortho}$
    • (3)前提规定
    • (4)推导过程
    • (5)Question:frustum中间的点的变化
      • 推导过程

一.前提

Games101 lecture4-lecture5
考虑将三位物体转换二维图像需要的步骤，我们需要以下变换来达成目的，
model transformation(模型(基础)变换--Object就位)
view/camera transformation(视图变换--调整相机)
projection transformation(投影变换--变换到$[-1,1]^3$,忽略深度信息$z$,变成$[-1,1]^2$)
viewport transformation(视口变换--投影到屏幕空间)
如下图所示(Fundamentals of Computer Graphics (3rd Edition) 7.1 Viewing Transformations Figure 7.2)：

二.视图变换

​ 首先需要定义一个相机，一个相机有三个属性，位置(Positon)$\pmb{e}$，观测方向(Look-at/ gaze direction)$\pmb{g}$和向上方向(Up direction)$\pmb{t}$。
​ 同时只要相机和物体之间没有相对运动，观测结果就不会改变，则可以让相机固定在原点，向上方向为$Y$方向，看向$-Z$方向，而这就需要通过变换矩阵$M_{view}$来自达成(需要注意的是物体也会随着相机移动而移动，因为要保证两者之间没有相对运动)，该矩阵需要完成如下操作:

1. 将原来在任意点$\pmb{e}$的相机平移到原点
2. 将观测方向$\pmb{g}$旋转到$-Z$方向
3. 将向上方向$\pmb{t}$旋转到$Y$方向
4. 将{$\pmb{g}$X$\pmb{t}$}方向旋转到$X$方向(当前两个方向旋转完成之后，$X$方向自然对齐)
   如下图所示:

$M_{view}$先平移在旋转(和仿射变换不同)，即$M_{view}=R_{view}T_{view}$。
最后结果如下:

$$M_{view}=R_{view}T_{view}=\begin{bmatrix} x_{gXt} &y_{gXt}&z_{gXt}&0\\ x_t&y_t&z_t&0\\ x_{-g}&y_{-g}&z_{-g}&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&0& -x_e\\ 0&1&0& -y_e\\ 0&0&1& -z_e\\ 0&0&0& 1\end{bmatrix}$$

1.推导过程

首先是平移到原点，可以很自然的写出其平移矩阵$T_{view}$如下:

$$T_{view}=\begin{bmatrix} 1&0&0& -x_e\\ 0&1&0& -y_e\\ 0&0&1& -z_e\\ 0&0&0& 1\end{bmatrix}$$

接着考虑旋转，将任意方向旋转到$X,Y,-Z$方向上不容易写出，但是可以考虑其逆变换，写出将$X(1,0,0),Y(0,1,0),Z(0,0,1)$旋转到{$\pmb{g}$X$\pmb{t}$},$\pmb{t}$,$\pmb{-g}$的旋转矩阵$R_{view}^{-1}$,并且由于旋转矩阵是正交矩阵，所以只要写出$R_{view}^{-1}$，其转置矩阵即为所求,如下所示：

$$R_{view}^{-1}=\begin{bmatrix} x_{gXt} &x_t&x_{-g}&0\\ y_{gXt} &y_t&y_{-g}&0\\ z_{gXt} &z_t&z_{-g}&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}$$

可以通过将上述矩阵应用与三轴来检验其正确性。$R_{view}$如下所示:

$$R_{view} = R_{view}^{(-1)(-1)}=R_{view}^T= \begin{bmatrix} x_{gXt} &y_{gXt}&z_{gXt}&0\\ x_t&y_t&z_t&0\\ x_{-g}&y_{-g}&z_{-g}&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}$$

所以最终的$M_{view}$如开头所示。

三.投影变换

投影变换目的就是将物体变换到$[-1,1]^3$。想要得到二维图像，可以去掉$z$，变成$[-1,1]^2$。变换分为两种，正交(orthographic)投影和透视(prespective)投影。透视投影存在近大远小的现象，而正交投影则不会，这是两者的本质区别，两者分别如下图所示:
图片来源:https://stackoverflow.com/questions/36573283/from-perspective-picture-to-orthographic-picture

上图中透视投影围成一个视锥(四棱锥)，而视锥中从某一个深度到另一个深度之间的区域叫做$frustum$,而透视投影就是将$frustum$中的东西显示到近平面($Near$ $clip$ $plane$)上。

1.正交投影(右手系)

首先定义一个空间中的立方体(只需定义6个面,左右上下前后)，$[l,r]$x$[b,t]$x$[f,n]$,需要注意的是远平面($f$)和近平面($n$)，有$\pmb{n}>\pmb{f}$因为看向$-Z$(右手系),所以物体越远则其对应的$Z$的值越小，反之越大。如果是左手系则越远$Z$越大，因为看向的$+Z$方向。然后将立方体中心平移到原点，并将其缩放成$canonical$(正则规范标准立方体) $cube [-1,1]^3$,忽略$z$,则变为$[-1,1]^2$。
如下图所示：

先将立方体中心$(\frac{r+l}{2},\frac{t+b}{2},\frac{n+f}{2})$平移到原点，然后缩放到$[-1,1]^3$(长宽高为$2$)，这里的缩放其实就是将立方体的长宽高缩放为$2$，其变换矩阵$M_{ortho}$如下:

$$M_{ortho}=\begin{bmatrix} \frac{2}{r-l} &0&0&0\\ 0& \frac{2}{t-b} &0&0\\ 0&0& \frac{2}{n-f} &0\\ 0&0&0 &1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&0& -\frac{r+l}{2}\\ 0&1&0& -\frac{t+b}{2}\\ 0&0&1& -\frac{n+f}{2}\\ 0&0&0& 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{2}{r-l}&0&0&-\frac{r+l}{r-l}\\ 0&\frac{2}{t-b}&0&-\frac{t+b}{t-b}\\ 0&0&\frac{2}{n-f}&-\frac{n+f}{n-f}\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}$$

2.透视投影

(1)视锥定义

透视投影的视锥定义只要定义两个东西1.垂直可视角度$Y$ 2.宽高比$aspect$，如下图所示：

从侧面观察，则近平面距离相机距离为$|n|$,如下图所示:

(2)怎么做透视投影$M_{persp}=M_{ortho}M_{persp->ortho}$

1. 首先将$frustum$挤压成一个长方体($M_{persp->ortho}$)($[l,r]$x$[b,t]$x$[f,n]$,)；
2. 然后再做一次正交投影($M_{ortho}$,已知)。即可完成投影到近平面的任务。

如下图所示:

(3)前提规定

1. 在挤压过程(第一步)中$frustum$的近平面$n$上点不变；

2. $f$平面的$Z$值不变,因为只是在收缩；

3. $f$平面的中心点是不会改变的(挤压完还是中心点)。

(4)推导过程

先单独考虑挤压过程，我们需要找到一个矩阵来完成变换。
考虑下图，从视锥的侧面看，我们需要将$(x,y,z)$挤压到和近平面上点$(x',y',z')$一样的高度，考虑相似三角形，则有$y'=\frac{n}{z}y$；同理(从上面看)，对于$x$而言有$x'=\frac{n}{z}x$。

需要注意的是，这里$\pmb{n},\pmb{z}$在图上表示的是距离原点的距离(负$Z$方向)，所以是个负数。

至此，已知挤压过程$x,y$的变换，$z$未知，将上述变换用齐次坐标，同时在基础变换中我们提到过对于齐次坐标而言，$(x,y,z,w)^T(w!=0)$表示的点即为$(\frac{x}{w},\frac{y}{w},\frac{z}{w},1)^T$。 所以有如下关系:

$$M_{persp->ortho}\begin{bmatrix} x\\y\\z\\1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{n}{z}x \\ \frac{n}{z}y \\ ? \\1 \end{bmatrix}\stackrel{同乘z}{=}\begin{bmatrix} nx\\ny\\?\\z \end{bmatrix}$$

从中可以反推出$M_{persp->ortho}$如下:

$$M_{persp->ortho}=\begin{bmatrix} n&0&0&0 \\ 0&n&0&0 \\ ?&?&?&? \\ 0&0&1&0 \end{bmatrix}$$

同时因为挤压过程中近平面点不变，远平面点$Z$值不变。则对于一个近平面上点$(x,y,n,1)^T$(假设近平面上的$z$的值为$n$)。考虑齐次坐标中一个点可以有很多不同的表示，同理则有$(x,y,n,1)^T\stackrel{同乘n}{=}(nx,ny,n^2,n)^T$变换后是不变的。所以有如下关系:

$$M_{persp->ortho}\begin{bmatrix} x\\y\\n\\1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} nx\\ny\\?\\z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} nx\\ny\\n^2\\n \end{bmatrix}$$

则可以推出变换矩阵的第三行为$(0,0,A,B)$,即有式子$(1)$如下：

$$\begin{bmatrix} 0&0&A&B \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y\\n\\1 \end{bmatrix}=n^2\tag{1}$$

再考虑$f$平面中$z$不变，且中心点不变，则对于其中心点$(0,0,f,1)$(假设远平面上$z$值为$f$)。则有如下关系式子$(2)$:

$$\begin{bmatrix} 0\\0\\f\\1 \end{bmatrix}\stackrel{同乘f}{=}\begin{bmatrix} 0\\0\\f^2\\f \end{bmatrix}\Rightarrow\begin{bmatrix} 0&0&A&B \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0\\0\\f\\1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\\f^2\\f \end{bmatrix}\tag{2}$$

由$(1)(2)$可得，如下结果

$$\begin{cases} An+B=n^2\\ Af+B=f^2 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} A=n+f\\ B=-nf \end{cases}$$

则有

$$M_{persp->ortho}=\begin{bmatrix} n&0&0&0 \\ 0&n&0&0 \\ 0&0&n+f&-nf \\ 0&0&1&0 \end{bmatrix}$$

所以透视投影变换矩阵计算如下:

$$M_{persp}=M_{ortho}M_{persp->ortho}=\begin{bmatrix} \frac{2n}{r-l}&0&-\frac{r+l}{r-l}&0\\ 0&\frac{2n}{t-b}&-\frac{t+b}{t-b}&0\\ 0&0&\frac{n+f}{n-f}&-\frac{2nf}{n-f}\\ 0&0&1&0 \end{bmatrix}$$

(5)Question:frustum中间的点的变化

在$frustum$中间任何一个位置，比如点$(x,y,\frac{n+f}{2},1)^T$，经过挤压之后(不做第二步正交)更加靠近远平面还是近平面？(远平面)

推导过程

先将$M_{persp->ortho}$应用到该点上，如下：

$$M_{persp->ortho}\begin{bmatrix} x\\y\\\frac{n+f}{2}\\1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} nx\\ny\\ \frac{(n+f)^2}{2}-nf\\ \frac{n+f}{2} \end{bmatrix}\stackrel{规范化，同除以\frac{n+f}{2}}{=}\begin{bmatrix} \frac{2nx}{n+f}\\ \frac{2ny}{n+f} \\ n+f-\frac{2nf}{n+f}\\1 \end{bmatrix}$$

比较变换前后两点的$Z$值大小，如下：

$$\begin{aligned} n+f-\frac{2nf}{n+f}-\frac{n+f}{2} &= \frac{n+f}{2}-\frac{2nf}{n+f} \\ &= \frac{(n+f)^2-4nf}{2(n+f)}\\ &= \frac{(n-f)^2}{2(n+f)} \end{aligned}$$

前面提到此时的$n,f$是个负数，所以有$(n-f)^2>0$，$(n+f)<0$，即更加靠近远平面。