数论基础（一）

数学符号

整除 / 同余理论常见符号

1. 整除符号：$x\mid y$，表示 $x$ 整除 $y$。
2. 取模符号：$xmody$，表示 $x$ 对 $y$ 取模。
3. 互质符号：$x\perp y$，表示 $x$ 与 $y$ 互质。
4. 同余：$n\equiv k(\mathrm{mod}m)$，表示$n$ 与 $k$ 在模 $m$ 意义下同余。
5. 最大公约数：$gcd(x,y)$，也可记作 $(x,y)$。
6. 最小公倍数：$\mathrm{lcm}(x,y)$，也可记作 $[x,y]$。

数论函数常见符号

1. 求和符号：$\sum$ 符号，表示满足特定条件的数的和。
2. 求积符号：$\prod$ 符号，表示满足特定条件的数的积。

逻辑符号

1. 合取：$\wedge$，$p\wedge q$ 表示 $p$ 与 $q$。
2. 析取：$\vee$，$p\vee q$ 表示 $p$ 或 $q$。
3. 否定：$\mathrm{\neg }$，$\mathrm{\neg }p$ 表示 $p$ 的否定。
4. 蕴含：$⟹$，$p⟹q$ 表示 $p$ 蕴含 $q$，即若 $p$ 为真，则 $q$ 为真。
5. 等价：$⟺$，$p⟺q$ 表示 $p$ 与 $q$ 等价。
6. 存在：$\mathrm{\exists }$；任意：$\mathrm{\forall }$。

集合符号

1. 属于：$\in$，$x\in A$ 表示 $x$ 为集合 $A$ 中的元素。
2. 不属于：$\notin$。
3. 空集：$\varnothing$。
4. $\{x_1,x_2,\dots ,x_n\}$，表示含元素 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ 的集合。
5. $\{x\in A|p(x)\}$，表示 $A$ 中使命题 $p(x)$ 为真的所有元素组成的集合。
6. 包含：$B\subseteq A$，表示 $B$ 为 $A$ 的子集。
7. 真包含：$B\subset A$，表示 $B$ 为 $A$ 的真子集。
8. 并集：$A\cup B$，表示 $A$ 与 $B$ 的并集。
9. 交集：$A\cap B$，表示 $A$ 与 $B$ 的交集。
10. 多个集合的并集：${\displaystyle \bigcup _{i=1}^n{A}_i}$ 表示集合 $A_1,A_2,\dots ,A_n$ 的并集。
11. 多个集合的交集：${\displaystyle \bigcap _{i=1}^n{A}_i}$ 表示集合 $A_1,A_2,\dots ,A_n$ 的交集。

标准数集和区间符号

1. 自然数集：$\mathbb{N}$，表示所有自然数构成的集合，使用 ${\mathbb{N}}^{\mathbb{+}}$ 来表示所有正整数。
2. 整数集：$\mathbb{Z}$，表示所有整数构成的集合。
3. 有理数集：$\mathbb{Q}$，表示所有有理数构成的集合。
4. 实数集：$\mathbb{R}$，表示所有实数构成的集合。
5. 复数集：$\mathbb{C}$，表示所有复数构成的集合。
6. （正）素数集：$\mathbb{P}$，表示所有（正）素数构成的集合。

关系符号

1. 正比：$a\propto b$，表示 $a$ 与 $b$ 成正比。
2. 远大于：$a\gg b$，表示 $a$ 远大于 $b$。
3. 远小于：$a\ll b$，表示 $a$ 远小于 $b$。
4. 无限大：$\mathrm{\infty }$。
5. 趋近：$x\to a$，表示 $x$ 趋近于 $a$，常用于极限表达式中。

其他常见符号

1. 阶乘符号：$!$，$n!$ 表示 $1\times 2\times 3\times \cdots \times n$。特别的，$0!=1$。
2. 向下取整符号：$\lfloor x\rfloor$，表示不超过 $x$ 的最大整数。
3. 向上取整符号：$\lceil x\rceil$，表示大于等于 $x$ 的最大整数。
4. 组合数：$(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{y})$，表示从 $x$ 个数中选出 $y$ 个数的方案数。
5. 第一类斯特林数：$[\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{y}]$；第二类斯特林数：$\{\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{y}\}$。

整除

定义

设 $a,b\in \mathbb{Z},a\ne 0$，$\mathrm{\exists }q\in \mathbb{Z}$，使得 $b=aq$，那么 $b$ 可被 $a$ 整除，记作 $a\mid b$。

性质

• $a\mid b⟺-a\mid b⟺a\mid -1⟺|a|\mid |b|$
• $a\mid b\wedge b\mid c⟹a\mid c$
• $a\mid b\wedge b\mid a⟹b=\pm a$
• 设 $m$ 不为 $0$，则 $a\mid b⟺ma\mid mb$
• 设 $b$ 不为 $0$，则 $a\mid b⟹|a|\le |b|$

其他概念

因数（约数）：若 $a\mid b$，则 $b$ 为 $a$ 的倍数， $a$ 为 $b$ 的因数。
平凡因数：对于整数 $b\ne 0$，$\pm 1$，$\pm b$ 称为 $b$ 的平凡因数。
素数（质数）：只有平凡因数作为因数的数称为素数。

通常而言，约数指的是正约数。

最大公约数与最小公倍数

定义

最大公约数，即为 Greatest Common Divisor，缩写为 gcd。一组整数的公约数，是指同时是这组数中每一个数的约数的数，而最大公约数是其中最大的一个。
最小公倍数，即为 Least Common Multiple，缩写为 lcm。定义可以参考 gcd。

求法

如何求出一组整数的最大公约数与最小公倍数呢？我们可以先从两个整数 $a$、$b(a>b)$ 开始考虑。处理这个问题的经典算法是欧几里得算法，又名辗转相除法。

具体而言，我们可以分两种情况讨论。假如 $b\mid a$，那么 $b$ 即为 $a$、$b$ 的最大公约数；但如果 $b\nmid a$ 又该如何？这时候，就要用到辗转相除法的精髓：$gcd(a,b)=gcd(b,amodb)$。

证明：
设 $a=kb+c$，那么 $c=amodb$。又令 $a$、$b$ 的最大公约数为 $d$，显然有 $d\mid c$。考虑反证法：如果 $gcd(b,c)\ne d$，那么 $gcd(a,b)=gcd(kb+c,b)\ne d$，与我们的假设 $d$ 是 $a$、$b$ 的最大公约数矛盾，因此“$gcd(b,c)\ne d$”不成立，即 $gcd(a,b)=gcd(b,amodb)$。

那么，我们该如何利用这个性质求出 $gcd(a,b)$ 呢？我们可以考虑临界情况：当 $bmoda=0$ 时，显然 $b$ 即为我们要求的最大公约数。那么我们可以进行递归求解，只要其中一个数为 $0$ 即可停止。

不难写出这样的代码：

// 正常版本
int gcd(int a, int b) {
    if (b == 0) return a;
    else return gcd(b, a % b);
}

// 三位运算符版本
int gcd(a, b) { return b ? gcd(b, a % b) : a; }

那么，要求一组数的最大公约数，我们可以先求出前两个数的最大公约数，再求这个数与第三个数的最大公约数，以此类推即可。

那么 lcm 呢？我们可以用到这样一个性质：$a\times b=gcd(a,b)\times \mathrm{lcm}(a,b)$。

证明：
令 $a=p_1^{k_{a_1}}{p}_2^{k_{a_2}}\dots p_s^{k_{a_s}}$，$b=p_1^{k_{b_1}}{p}_2^{k_{b_2}}\dots p_s^{k_{b_s}}$。显然 $gcd(a,b)=p_1^{min(k_{a_1},k_{b_1})}{p}_2^{min(k_{a_2},k_{b_2})}\dots p_s^{min(k_{a_s},k_{b_s})}$，$\mathrm{lcm}=p_1^{max(k_{a_1},k_{b_1})}{p}_2^{max(k_{a_2},k_{b_2})}\dots p_s^{max(k_{a_s},k_{b_s})}$。不难看出，$a\times b=gcd(a,b)\times \mathrm{lcm}(a,b)$。

那么，我们只需要类比上面的思路，求出最大公约数之后再求出最小公倍数即可。