差分与前缀和学习笔记

本来是不想写这篇博客的，但为了课前十分钟还是来水一发

前缀和

简介

继续引用OI-Wiki的话（OI-Wiki $yyds$ !）：

前缀和可以简单理解为「数列的前 $n$ 项的和」，是一种重要的预处理方式，能大大降低查询的时间复杂度。

也就是说，我们能使用 $O(n)$ 的时间进行预处理，在 $O(1)$ 的时间内求出数列的一段区间内所有数的和。

为什么要使用前缀和？

假如我们有一段长为 $1e6$ 的数列，有 $1e6$ 个询问，假如我们使用传统的方式，对每一个询问以一个一个相加的方式进行求和，那么最坏情况下这个程序要运行 $1e12$ 次，妥妥的 $TLE$ 。但是我们使用前缀和的话就可以免去这些操作了。

那么怎么做？

假设给出的数列为 $a$ ，我们可以构造出一个相应的数列 $sum$ ，其中第 $x$ 个元素的值为 $a$ 数列中 $1$ ~ $x$ 个元素的和，即：$su{m}_x=\sum _{i=1}^x{a}_i$ 。
那么显然，如果我们要求出从第 $l$ 个元素到第 $r$ 个元素，只要求出 $su{m}_r-su{m}_{l-1}$ 的值就可以了。
而 $sum$ 数列中每一个元素的值，我们可以用前一个元素的值加上 $a$ 数列中对应位置元素的值求的。特别地，$sum$ 数列中第一个元素的值就等于 $a$ 数列中第一个元素的值。
示范代码如下：

cin >> n >> q;
for (int i = 1; i <= n; i++){
    cin >> a[i];
    sum[i] = a[i] + sum[i - 1];
}
while(q--){
    cin >> l >> r;
    cout << sum[r] - sum[l - 1] << endl;
}

扩展：二维前缀和

前面我们的讨论都是在一个一位的数列上进行的，但如果题目给我们的是一个二维的矩阵，阁下又当如何应对？
显然的，我们同样可以构造一个矩阵 $sum$ 使得 $su{m}_{x,y}=\sum _{i=1}^x\sum _{j=1}^y{a}_{i,j}$ 。怎么求出 $su{m}_{x,y}$ 的值呢？
首先，我们要加上 $a_{x,y}$ 的值。然后根据容斥原理，我们会重复加上一部分的前缀和，于是需要减去一部分。
如下图所示。我们要计算整块前缀和，就要先加上右下角这些，再加上左侧的所有前缀和和上面的前缀和。这时你会发现，我们把左上角的那一部分算了两次，于是我们减掉一次就好了。

那么怎么查询特定块的前缀和呢？
再看下面这张图。我们现在要计算红色部分的前缀和，而红色部分的前缀和等于总的前缀和 $-$ 它正上方的前缀和（蓝色部分） $-$ 它左侧的前缀和（绿色部分） $-$ 它左上方的前缀和（黄色部分）。根据二位前缀和的定义，我们可以求得它左侧和左上方的总前缀和（绿色和黄色部分），它正上方和左上方的总前缀和（蓝色和黄色部分）。再次根据容斥原理，我们两次减去了黄色部分，应该加回一次。这就是红色部分的前缀和。

下面是示范代码：

// 处理前缀和
cin >> n >> m >> q;
for(int i = 1; i <= n; i++)
    for(int j = 1; j <= m; j++)
        cin >> a[i][j];
for(int i = 1; i <= n; i++)
    for(int j = 1; j <= m; j++)
        sum[i][j] = sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1] - sum[i - 1][j - 1] + a[i][j];
// 查询前缀和
while(q --){
    int l1, r1, l2, r2;
    cin >> l1 >> r1 >> l2 >> r2;
    cout << sum[l2][r2] - sum[l1 - 1][r2] - sum[l2][r1 - 1] + sum[l1 - 1][r1 - 1] << endl;
}

差分

简介

再次引用OI-Wiki的话：

差分是一种和前缀和相对的策略，可以当做是求和的逆运算。

用人话来说，差分支持我们通过前缀和的方式，实现 $O(1)$ 对一个数列中一段区间元素的值进行修改，并且方便的得到每一个值。

为什么要使用差分

同理，使用差分可以避免对数列中每个元素的值一个一个进行修改，使得程序的运行时间大大减少。

那么怎么做？

针对给出的数列 $a$ ，我们可以构造出一个数列 $b$ ，使得其中每一个元素的值都是 $a$ 数列中对应元素的值减去前一个元素的值，也就是 $b_i=a_i-a_{i-1}$
那么我们可以得出这样的一个式子：$a_x=\sum _{i=1}^x{b}_i$。很显然，我们可以利用前缀和求出 $a$ 中元素的值。
但这样显然没有任何优势，但是差分的优势在于对区间元素的修改。假如我们要给 $l$ 到 $r$ 之间的元素都加上一个值 $val$ ，我们只需要给 $b_l$ 的值加上 $val$ ，给 $b_{r+1}$ 的值减去 $val$ 就可以了。
解释以下。根据差分的定义，给 $b_l$ 的值加上 $val$ 就相当于给 $a_l$ 到数列末尾元素的值都加上 $val$ ，那么给 $b_{r+1}$ 减去 $val$ 就可以抵消其对于 $a_{r+1}$ 到数列末尾的影响了。
示范代码如下：

cin >> n >> q;
for (int i = 1; i <= n; i++){
    cin >> a[i];
    b[i] = a[i] - a[i - 1];
}
while(q--){
    cin >> l >> r >> val;
    b[l] += val;
    b[r + 1] -= val;
}
for (int i = 1; i <= n; i++){
    sum[i] = sum[i - 1] + b[i];
    cout << sum[i] << ' ';
}