平衡树-Treap
感谢：https://www.cnblogs.com/chenhuan001/p/5788272.html
Treap是平衡树中最简单的形式
平衡树就是左节点一定小于当前节点，右节点一定大于当前节点的数，这样的树按道理来讲，对于一个序列，你按照顺序向上添加数字，应该画出来的是恒定的一个
为什么会有这么多不一样的平衡树呢，Treap , Splay , SBT
因为，但但的按照值排序的平衡树最坏的情况下可能是一条链，并且我们通过左旋和右旋的一些操作，这个树我们可以依旧保持是平衡的
因为在我们解题的过程中，数字的插入顺序显得并没与那么重要
于是，我们就引入了一个新的衡量办法，使得这棵树尽可能的均衡，就是每个节点赋予一个pri值，这个值要么大的在上面，要么小的在上面，这个倒不重要
在Treap中这个值是随机生成的，这样的话尽可能的保证了这个树的均衡性，时间复杂度也就可以尽可能的接近于O(log)
下面是今天写的三道简单题：
从word上面粘贴的代码直接到CB上可能无法运行 需要再ubunte上粘贴一下，据说是在word上直接粘贴会有一些暗藏的东西编译不了
POJ 3481
1.题意：三种操作，每个人有一个优先级和一个id，现在来银行办业务，1操作就是id为x的优先级为y的来银行办业务，也就是插入，2寻找优先级最高的那个人的id，3寻找优先级最低的那个人的id
2.不允许有相同的优先级，相同的优先级有相同的数字也不可以，因为节点值中只记录了值，没有记录出现次，在询问之后就直接删除了
#include<stdio.h> #include<iostream> #include<algorithm> #include<string.h> using namespace std; const int Maxn = 1000006; ///最多的点数 struct Tree { int key , num , pri , son[2]; ///key 是树上的键值 pri是随机分配的数字 为了保证树的均衡性 使得复杂度保持在log级别 Tree() {} Tree(int _key , int _num , int _pri) { key = _key; num = _num; pri = _pri; son[0] = son[1] = 0; } } T[Maxn]; int cnt , root; void init() { cnt = 1; ///初始化 cnt=1 root = 0; } void Rotate(int &x , int p) //1 右旋 0 左旋 { int y = T[x].son[!p]; T[x].son[!p] = T[y].son[p]; T[y].son[p] = x; x = y; } void Insert(int &x , int key , int num) ///插入一个数字 值是num 优先级是key { if(x == 0) { T[x=cnt++]=Tree(key,num,rand()); /* 显示建的树 printf("%d...\n" , x); for(int i=0; i<=x; i++) { printf("%d...%d.%d.%d.%d.%d.\n" , i , T[i].key , T[i].pri , T[i].num , T[i].son[0] , T[i].son[1]); } */ } else { int p = key<T[x].key; Insert(T[x].son[!p],key,num); if(T[x].pri<T[T[x].son[!p]].pri) Rotate(x,p); } } int get(int x , int p) ///p=1 获得优先级最大的点的数字 p=0 获得优先级最小的点的数字 { while( T[x].son[p] ) { x = T[x].son[p]; } return x; } void del(int &x , int key) ///删除一个键值是key的点 { if(T[x].key == key) { if(T[x].son[0] && T[x].son[1]) { int p = T[T[x].son[0]].pri > T[T[x].son[1]].pri; Rotate(x ,p); del(T[x].son[p] , key); } else { if( !T[x].son[0] ) x = T[x].son[1]; else x = T[x].son[0]; } } else { int p = T[x].key > key; del(T[x].son[!p], key); } } int main() { int flag; init(); while( scanf("%d" ,&flag) != EOF ) { if(flag == 0) break; if(flag == 1) { int num , key; scanf("%d%d" , &num , &key); Insert(root , key , num); ///每次新建点之后 root指向的依然是最终的根节点标号 } else if(flag == 2) ///获取优先级最高的那个点的值 { int x = get(root , 1); if(x) { printf("%d\n" , T[x].num); del(root , T[x].key); } else { printf("0\n"); } } else if(flag == 3) ///获取优先级最低的那个点的值 { int x = get(root , 0); if(x) { printf("%d\n" , T[x].num); del(root , T[x].key); } else { printf("0\n"); } } } return 0; }
POJ1442
题意：现在有一个序列长度为n，下面给出这个序列，接下来m个询问，第i次询问问前u[i]个数字里面第i大的是谁
- 第一想法就是可以主席书写一下
- 现在发现平衡树也可以写，主席书的实现是多棵线段树，平衡树就是一个二叉树，主席书带有修改操作，单点修改，区间修改什么的
- 在上一题的基础上，将询问函数改了，每个节点现在的key值就是他本身，另外需要记录一个子树节点数，接下来像主席书一样的查找第k大
- 时间复杂度O(logn)
- 不要忘记调用init函数
#include<stdio.h> #include<iostream> #include<algorithm> #include<string.h> using namespace std; const int Maxn = 30004; int a[Maxn]; int u[Maxn]; struct Tree { int key , Size , pri , son[2]; ///需要记录的是每个节点的子孩子的节点的个数 Tree() {} Tree(int _key , int _Size , int _pri) { key = _key; Size = _Size; pri = _pri; son[0] = son[1] = 0; } }T[Maxn]; int root , cnt; void init() { root = 0; cnt = 1; } void Rotate(int &x , int p) { int y = T[x].son[!p]; T[x].Size = T[x].Size-T[y].Size+T[T[y].son[p]].Size; T[x].son[!p] = T[y].son[p]; T[y].Size = T[y].Size-T[T[y].son[p]].Size+T[x].Size; T[y].son[p] = x; x = y; } void Insert(int &x , int key) { if(x == 0) { T[x=cnt++] = Tree(key , 1 , rand()); } else { T[x].Size++; int p = key<T[x].key; Insert(T[x].son[!p] , key); if(T[x].pri < T[T[x].son[!p]].pri) Rotate(x,p); } } int fin(int &x , int p) { if(p==T[T[x].son[0]].Size+1) return T[x].key; if(p>T[T[x].son[0]].Size+1) fin(T[x].son[1] , p-T[T[x].son[0]].Size-1); else fin(T[x].son[0] , p); } int main() { int n , m; u[0] = 0; while( scanf("%d%d" , &n , &m) != EOF ) { init(); for(int i=0; i<n; i++) scanf("%d" , &a[i]); for(int i=1; i<=m; i++) { scanf("%d" , &u[i]); for(int j=u[i-1]; j<u[i]; j++) { Insert(root , a[j]); ///键值就是本身的值 } printf("%d\n" , fin(root , i)); ///寻找区间第i大 } } return 0; }
POJ 2352
题意：有n个星星，每个星星有自己的x坐标y坐标，星星的等级等于x轴不超过它，y轴不超过它的星星的数量，问每个等级有多少个星星
做法：这个题输入是按照y轴从小到大，x轴从小到大输入的，线段树可解，Treap就是统计x大小不超过它的有多少个
- 不能忘记初始化函数
- 输出等级是0~n-1 不是1~n
#include<stdio.h> #include<iostream> #include<algorithm> #include<string.h> using namespace std; const int Maxn = 15005; int ans[Maxn]; ///询问不同等级的有多少个星星 要是询问每个点在低级等级也是一样的 struct Tree { int key , Size , pri , son[2]; Tree(){} Tree(int _key , int _Size , int _pri) { key = _key; Size = _Size; pri = _pri; son[0] = son[1] = 0; } }T[Maxn]; int root , cnt; void init() { cnt = 1; root = 0; memset(ans , 0 , sizeof(ans)); } void Rotate(int &x , int p) { int y = T[x].son[!p]; T[x].Size = T[x].Size-T[y].Size+T[T[y].son[p]].Size; T[x].son[!p] = T[y].son[p]; T[y].Size = T[y].Size-T[T[y].son[p]].Size+T[x].Size; T[y].son[p] = x; x = y; } void Insert(int &x , int key) { if(x == 0) { T[x=cnt++] = Tree(key , 1 , rand()); } else { T[x].Size++; int p = key<T[x].key; Insert(T[x].son[!p] , key); if(T[x].pri > T[T[x].son[!p]].pri) Rotate(x , p); } } int fin(int &x , int p) { if(x == 0) return 0; if(T[x].key <= p) return T[T[x].son[0]].Size+1+fin(T[x].son[1] , p); else return fin(T[x].son[0] , p); } int main() { int n , x , y; while( scanf("%d" , &n) != EOF ) { init(); for(int i=1; i<=n; i++) { scanf("%d%d" , &x , &y); ///题目给的很友好 Y轴按照升序给出，y轴也按照升序给出 ///于是对于每一个输入，只要统计x坐标比较小的有多少个就可以了 ans[fin(root , x)]++; Insert(root , x); } for(int i=0; i<n; i++) printf("%d\n" , ans[i]); } }
