【暖*墟】 #树与图# 深度优先遍历入门知识点
【一. 时间戳（dfn）】
什么是时间戳? 就是每个位置被访问到的次序。
比如说我们对一棵树进行深搜,在深搜中访问的相应次序就被我们称为时间戳。
【二. 树的dfs序】
1.dfs序的作用
维护一系列树上的问题，解决一棵树上的所有后代结点信息的更改和祖先结点有关改变，
通过dfs来记录树的每个顶点的出入时间戳，来控制它子树上的所有结点的状态的更新。
用 L[ i ],R[ i ] 来记录这个祖先结点控制后代结点的区间。
即dfs序的特点就是：每个节点编号x在序列中恰好出现两次。
一棵子树的dfs序就变成了一个区间 [ L[ x ] , R[ x ] ] 。
树的dfs序也用于深搜解决树的前序、中序、后序遍历问题。
- 把树上的问题转化成了序列上的问题
- 辅以各种数据结构（ST表、树状数组、线段树）进行运算
- 子树求和->区间求和
2.dfs序的图解
3.dfs序的代码
void dfs(int x){ a[++m]=x; //a数组储存dfs序 v[x]=1; //记录点x被访问过 for(int i=head[x];i;i=next[i]){ int y=ver[i]; //取出点的价值 if(v[y]) continue; //已经到达过 dfs(y); } a[++m]=x; //dfs返回到x }
4.例题：poj3321 Apple Tree
【三. 树的深度、直径和重心】
1.树的深度
已知根节点深度为0。自顶而下统计信息。
若节点x的深度为 d[x] ，则它的子节点y的深度就是 d[y]=d[x]+1 。
结合dfs，可求得每个节点的深度。
void dfs_deep(int x){ v[x]=1; //记录x点被访问过 for(int i=head[x];i;i=next[i]){ int y=ver[i]; if(v[y]) continue; d[y]=d[x]+1; dfs_deep(y); } }
2.树的直径与重心
1）树的直径 即树上最长的简单路径。
在树上任选一点w，求距离w最远的点u，求距离u最远的点v，u到v的距离即为树的直径。
简单证明：
<1> 如果w在直径上，那么u一定是直径的一个端点。
反证：若u不是端点，则从直径另一端点到w再到u的距离比直径更长，与假设矛盾。
<2> 如果w不在直径上，且w到其距最远点u的路径与直径一定有一交点c，
那么由上一个证明可知，u是直径的一个端点。
<3> 如果w到最远点u的路径与直径没有交点，设直径的两端为S与T，
那么(w->u)>(w->c)+(c->T)，推出(w->u)+(S->c)+(w->c)>(S->c)+(c->T)=(S->T)与假设矛盾。
因此w到最远点u的路径与直径必有交点。
S-----------c-----------T
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#include<cstdio> #include<cstring> #define N 4200 struct node{ int next; int to; }edge[N]; int num_edge,head[N],dis[N],n,a,b,y; int add_edge(int from,int to){ edge[++num_edge].next=head[from]; edge[num_edge].to=to; head[from]=num_edge; } int dfs(int x){ //计算树的深度 for(int i=head[x];i;i=edge[i].next) if(!dis[edge[i].to]){ dis[edge[i].to]=dis[x]+1; dfs(edge[i].to); } } int main(){ scanf("%d",&n); for(int i=1;i<n;++i){ scanf("%d%d",&a,&b); add_edge(a,b); add_edge(b,a); } dfs(1); //计算树的深度 for(int i=y=1;i<=n;i++) if(dis[i]>dis[y]) y=i; //寻找与w距离最大的某点u memset(dis,0,sizeof(dis)); dfs(y); //以y为根，重新建树 for(int i=y=1;i<=n;i++) if(dis[i]>dis[y]) y=i; //找到离u最大的v printf("%d",dis[y]); //得出树的直径 return 0; }
2）树的重心 树上一点，使该点为根的所有子树中最大子树的节点数最少。
一般的树只有一个重心，有些有偶数个节点的树，有两个节点。
法一：简单的两次搜索求出。
分别搜索求出每个结点的子结点数量son[u]、使max{son[u],n-son[u]-1}最小的结点。
实际上这两步操作可以在一次遍历中解决。对结点u的每一个儿子v，递归的处理v，
求出son[v]，然后判断是否是结点数最多的子树，处理完所有子结点后，判断u是否为重心。
struct CenterTree{ int n,ans,siz,son[maxn]; void dfs(int u,int pa){ son[u]=1; int res=0; for(int i=head[u];i!=-1;i=edges[i].next){ int v=edges[i].to; if(v==pa) continue; if(vis[v]) continue; dfs(v,u); son[u]+=son[v]; res=max(res,son[v]-1); } res=max(res,n-son[u]); if(res<siz){ ans=u; siz=res; } } int getCenter(int x){ ans=0; siz=INF; dfs(x,-1); return ans; } }Cent; //树的重心
法二：利用推论求出。
随意确定一个根节点，先把无根树转化为有根树，dfs求出所有点的子树的节点个数。
如果有一点满足该点的 子树的节点数的二倍 >= 总结点数 (size[u]*2>=n)，
#include<cstdio> #define N 42000 int n,a,b,next[N],to[N],head[N],num,size[N],father[N],ans; void add(int false_from,int false_to){ next[++num]=head[false_from]; to[num]=false_to; head[false_from]=num; } void dfs(int x){ size[x]=1; for(int i=head[x];i;i=next[i]) if(father[x]!=to[i]){ father[to[i]]=x; dfs(to[i]); size[x]+=size[to[i]]; } if(size[x]*2>=n&&!ans) ans=x; } int main(){ scanf("%d",&n); for(int i=1;i<n;++i){ scanf("%d%d",&a,&b); add(a,b); add(b,a); } dfs(1); printf("%d",ans); return 0; }
【四. 图的连通块划分】
1.连通块的定义
连通块（连通图）：无向图 G 中，若从顶点 i 到 j 有路径相连，则 i、j 是连通的。
如果 G 是有向图，那么连接 i 和 j 的路径中所有的边都必须同向。
如果图中任意两点都是连通的，那么图被称作连通图（或连通块）。
如果此图是有向图，则称为强连通图（注意：需要双向都有路径）。
2.求图中连通块的个数
深搜法：
void dfs_num(int x){ v[x]=cnt; //记录x点属于的连通块的编号 for(int i=head[x];i;i=next[i]){ int y=ver[i]; if(v[y]) continue; //已经找到归属的连通块 dfs_num(y); } } //在主程序 int main() 中： for(int i=1;i<=n;i++){ if(!v[i]){ cnt++; //无向图中包含连通块的个数 dfs_num(i); } }
#include <stdio.h> #include <vector> using namespace std; const int maxn = 100010; vector<int> G[maxn]; // 邻接表存储图 bool isRoot[maxn] = {false}; // 标记是否访问 int pre[maxn]; int Find(int x) { int r = x; while(x != pre[x]) x = pre[x]; //↑↑路径压缩:此时x已经是老大 int j; while(r != pre[r]) { j = r; r = pre[r]; pre[j] = x; } return x; } void Union(int a, int b) { int preA = Find(a); int preB = Find(b); if(preA != preB) pre[preA] = preB; } int calculateBlockNum(int n) { int block = 0; for(int i = 1; i <= n; i++) // 枚举所有顶点 isRoot[Find(i)] = true;// 这样同样的数字只计算一次 for(int i = 1; i <= n; i++) block += isRoot[i]; //true当1用，false当0用 return block; } void init(int n) { for(int i = 1; i <= n; i++) pre[i] = i; } int main() { int n, a, b; scanf("%d", &n); init(n); // 很重要很重要！ for(int i = 1; i < n; i++) { // n - 1条边 scanf("%d%d", &a, &b); G[a].push_back(b); G[b].push_back(a); Union(a,b); // 合并顶点a,b所在的集合 } int block = calculateBlockNum(n); printf("%d\n",block); }
在输入边的两个顶点时进行合并+路径压缩，统计pre数组中的元素有多少个不同值即可，
为了统计，用到标记数组，这里没有统计每个块中的元素数目，所以用布尔型的数组即可。
——时间划过风的轨迹，那个少年，还在等你。
