【暖*墟】#洛谷网课1.31# 多项式与概率
多项式及相关操作
一个 R 上的关于 x 的多项式可以写作：
其中 ai ∈ R。x 被称为这个多项式的自由元。
多项式的次数被定义为其最高次项的次数，记为 deg A(x)。
多项式加法与乘法
卷积的概念
多项式与点值
- 如何让在多项式系数和点值表达之间转换？-->考虑一组特殊的点值
复数的加法和乘法
struct complex{ double x,y; complex(){} complex(double x,double y){this->x=x,this->y=y;} complex friend operator +(complex n1,complex n2){return complex(n1.x+n2.x,n1.y+n2.y);} complex friend operator -(complex n1,complex n2){return complex(n1.x-n2.x,n1.y-n2.y);} complex friend operator *(complex n1,complex n2){return complex(n1.x*n2.x-n1.y*n2.y,n1.x*n2.y+n1.y*n2.x);} };
共轭复数与复数除法
共轭复数：z=a+b*i,z_=a-b*i;
z*z_=a^2+b^2; 则：z1/z2=(z1*z2_)/(z2*z2_)=(z1*z2_)/(c^2+d^2);
单位根与本原单位根
由欧拉公式： ，可以推出：
在有限域上，本原单位根和数论中的原根有关。
离散傅里叶变换（DFT）
- DFT本质上就是函数对应的点值。
单位根的一些性质
两条性质的证明过程：
（1） 
（2）
“蝴蝶操作”的过程
拆开式子，再分析一遍：
在枚举第一个式子的时候，我们可以O(1)的得到第二个式子的值，
又因为第一个式子的k在取遍[0,n/2−1]时，k+n/2取遍了[n/2,n−1]。
那么每次都可以把问题缩小一半，用分治思想不停递归求解即可。
快速傅里叶变换（FFT）
位逆序置换 与 非递归FFT
| 原数列数字 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 二进制 | 000 | 001 | 010 | 011 | 100 | 101 | 110 | 111 |
| 最底层数列数字 | 0 | 4 | 2 | 6 | 1 | 5 | 3 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 二进制 | 000 | 100 | 010 | 110 | 001 | 101 | 011 | 111 |
发现二进制表示反过来了。于是我们可以得到一个转换方法：
for(int i=0;i<len;i++) turn[i]=turn[i>>1]>>1|((i&1)<<L);
离散傅里叶变换的逆变换（IDFT）
调整求和顺序，转化成不同的式子。（k是一个独立于 i、j 的值）
FFT进行多项式乘法
假设 A(x), B (x) 是两个不超过 n 次的多项式，
那么他们的乘积 A(x)*B(x) 则可能是不超过 2n − 1 次的多项式。
因此我们一般会对 A(x), B (x) 进行长度至少 2n 的 DFT，
然后把对应的点值乘起来，再进行对应长度的 IDFT。
DFT 与 FFT 都是在 复数域 C 中进行的过程。
但往往是对整数进行操作，并且经常要对某个素数 p 取模。
考虑在模素数的时候，是否存在和单位根性质类似的元素。
实现思路：系数表示法—>点值表示法—>系数表示法。
原根的定义与性质
设 p 是素数。由费马小定理，对于任意 a 满足互质，有：
a^(p−1) ≡ 1 (mod p)
g 称为模 p 的原根，当且仅当 g0, g1, . . . , g(p−2)在模 p 意义下互不相同。
可以证明，原根总是存在的。原根的性质和本原单位根非常类似。
换句话说，在 mod p 意义下，g 可以被看做一个 p − 1 次本原单位根。
FFT具体过程及代码实现
三重循环：1.合并的序列长度 ； 2.枚举具体每一位；3.蝴蝶操作优化。
void FFT(complex *a,int typ){ for(int i=0;i<len;i++) if(i<turn[i]) swap(a[i],a[turn[i]]); for(int l=1;l<len;l<<=1){ wn=complex(cos(pi/l),typ*sin(pi/l)); for(int p=0;p<len;p+=(l<<1)){ w=complex(1,0); //a+b*i for(int i=p;i<p+l;i++,w=w*wn){ tmpx=a[i],tmpy=w*a[i+l]; a[i]=tmpx+tmpy,a[i+l]=tmpx-tmpy; } //↑↑用“蝴蝶操作”优化 } } }
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<string> #include<queue> #include<vector> #include<cmath> #include<map> using namespace std; typedef long long ll; //【p3803】FFT求卷积模板 void reads(int &x){ //读入优化（正负整数） int fa=1;x=0;char s=getchar(); while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')fa=-1;s=getchar();} while(s>='0'&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+s-'0';s=getchar();} x*=fa; //正负号 } const int N=(1<<21)+10; struct complex{ //复数 double x,y; complex(){} //复数的相关运算 complex(double x,double y){this->x=x,this->y=y;} complex friend operator +(complex n1,complex n2) {return complex(n1.x+n2.x,n1.y+n2.y);} complex friend operator -(complex n1,complex n2) {return complex(n1.x-n2.x,n1.y-n2.y);} complex friend operator *(complex n1,complex n2) {return complex(n1.x*n2.x-n1.y*n2.y,n1.x*n2.y+n1.y*n2.x);} }a[N],b[N],tmpx,tmpy,wn,w; const double pi=3.1415926535897632; int n,m,turn[N],len=1,L=-1; void FFT(complex *a,int typ){ for(int i=0;i<len;i++) if(i<turn[i]) swap(a[i],a[turn[i]]); for(int l=1;l<len;l<<=1){ wn=complex(cos(pi/l),typ*sin(pi/l)); for(int p=0;p<len;p+=(l<<1)){ w=complex(1,0); //a+b*i for(int i=p;i<p+l;i++,w=w*wn){ tmpx=a[i],tmpy=w*a[i+l]; a[i]=tmpx+tmpy,a[i+l]=tmpx-tmpy; } //↑↑用“蝴蝶操作”优化 } } } int main(){ reads(n),reads(m); //↓↓注意从0次开始 for(int i=0;i<=n;i++) scanf("%lf",&a[i].x); for(int i=0;i<=m;i++) scanf("%lf",&b[i].x); while(len<=(n+m)) len<<=1,L++; for(int i=0;i<=len;i++) turn[i]=(turn[i>>1]>>1)|((i&1)<<L); //↑↑位逆序替换，就找到了对应的turn位置 /* 实现思路：系数表示法—>点值表示法—>系数表示法。 后面的1表示要进行的变换是什么类型。 1表示从系数变为点值，-1表示从点值变为系数。 */ FFT(a,1),FFT(b,1); //从系数变为点值 for(int i=0;i<=len;i++) a[i]=a[i]*b[i]; FFT(a,-1); for(int i=0;i<=n+m;i++) printf("%d ",(int)(a[i].x/len+0.5)); //四舍五入 }
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<string> #include<queue> #include<vector> #include<cmath> #include<map> using namespace std; typedef long long ll; //【p1919】FFT求大整数乘法 void reads(int &x){ //读入优化（正负整数） int fa=1;x=0;char s=getchar(); while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')fa=-1;s=getchar();} while(s>='0'&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+s-'0';s=getchar();} x*=fa; //正负号 } const int N=1000019; struct complex{ //复数 double x,y; complex(){} //复数的相关运算 complex(double x,double y){this->x=x,this->y=y;} complex friend operator +(complex n1,complex n2) {return complex(n1.x+n2.x,n1.y+n2.y);} complex friend operator -(complex n1,complex n2) {return complex(n1.x-n2.x,n1.y-n2.y);} complex friend operator *(complex n1,complex n2) {return complex(n1.x*n2.x-n1.y*n2.y,n1.x*n2.y+n1.y*n2.x);} }a[N],b[N],tmpx,tmpy,wn,w; const double pi=3.1415926535897632; int n,m,turn[N],len=1,L=-1; char s1[N],s2[N]; int aa=0,bb=0,ans[N]; void FFT(complex *a,int typ){ for(int i=0;i<len;i++) if(i<turn[i]) swap(a[i],a[turn[i]]); for(int l=1;l<len;l<<=1){ wn=complex(cos(pi/l),typ*sin(pi/l)); for(int p=0;p<len;p+=(l<<1)){ w=complex(1,0); //a+b*i for(int i=p;i<p+l;i++,w=w*wn){ tmpx=a[i],tmpy=w*a[i+l]; a[i]=tmpx+tmpy,a[i+l]=tmpx-tmpy; } //↑↑用“蝴蝶操作”优化 } } } int main(){ //把每一位看成一个系数，最后再整合 reads(n); scanf("%s%s",s1,s2); for(int i=n-1;i>=0;i--) a[aa++].x=s1[i]-48; for(int i=n-1;i>=0;i--) b[bb++].x=s2[i]-48; while(len<(n+n)) len<<=1,L++; for(int i=0;i<=len;i++) turn[i]=(turn[i>>1]>>1)|((i&1)<<L); //↑↑位逆序替换，就找到了对应的turn位置 /* 实现思路：系数表示法—>点值表示法—>系数表示法。 后面的1表示要进行的变换是什么类型。 1表示从系数变为点值，-1表示从点值变为系数。 */ FFT(a,1),FFT(b,1); //从系数变为点值 for(int i=0;i<=len;i++) a[i]=a[i]*b[i]; //记录乘积答案 FFT(a,-1); //把乘积答案转化为各位置的系数 for(int i=0;i<=len;i++){ ans[i]+=(int)(a[i].x/len+0.5); //系数整合为大整数 if(ans[i]>=10) ans[i+1]+=ans[i]/10,ans[i]%=10, len+=(i==len); //判断是否要多一位 } while(!ans[len]&&len>=1) len--; //删除前导零 len++; while(--len>=0) cout<<ans[len]; //输出答案 }
数论变换
根据原根和费马小定理的规律，可以推出：
如果 n = 2^k，则也可以利用与 FFT 类似的方式快速的计算数论变换。
快速数论变换对所选取的素数模数有着特殊的要求，即满足：2^k = n | p − 1。
比如常见的模数：
p（UOJ）= 998244353 = 7 · 17 · 2^23 + 1
就是一个可以用于快速数论变换的模数。
FFT 可以用来计算多项式乘法。卷积可以写成多项式乘法，因此 FFT 可以计算序列的卷积。
【例题】洛谷p3338 力
【解题思路】
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<string> #include<queue> #include<vector> #include<cmath> #include<map> using namespace std; typedef long long ll; //【p3338】力 void reads(int &x){ //读入优化（正负整数） int fa=1;x=0;char s=getchar(); while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')fa=-1;s=getchar();} while(s>='0'&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+s-'0';s=getchar();} x*=fa; //正负号 } const int N=(1<<18)+10; struct complex{ //复数 double x,y; complex(){} //复数的相关运算 complex(double x,double y){this->x=x,this->y=y;} complex friend operator +(complex n1,complex n2) {return complex(n1.x+n2.x,n1.y+n2.y);} complex friend operator -(complex n1,complex n2) {return complex(n1.x-n2.x,n1.y-n2.y);} complex friend operator *(complex n1,complex n2) {return complex(n1.x*n2.x-n1.y*n2.y,n1.x*n2.y+n1.y*n2.x);} }a[N],b[N],tmpx,tmpy,wn,w; const double pi=3.1415926535897632; int n,turn[N],len=1,L=-1; double out[N],q[N]; void FFT(complex *a,int typ){ for(int i=0;i<len;i++) if(i<turn[i]) swap(a[i],a[turn[i]]); for(int l=1;l<len;l<<=1){ wn=complex(cos(pi/l),typ*sin(pi/l)); for(int p=0;p<len;p+=(l<<1)){ w=complex(1,0); //a+b*i for(int i=p;i<p+l;i++,w=w*wn){ tmpx=a[i],tmpy=w*a[i+l]; a[i]=tmpx+tmpy,a[i+l]=tmpx-tmpy; } //↑↑用“蝴蝶操作”优化 } } } int main(){ reads(n); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf",&q[i]); for(int i=1;i<=n;i++) a[i].x=q[i],b[i].x=1.0/i/i; //把 b[i].x=1.0/i/i 换成 1.0/(i*i) 会被卡精度↑↑ while(len<=((n+1)<<1)) len<<=1,L++; for(int i=0;i<len;i++) turn[i]=turn[i>>1]>>1|(i&1)<<L; //↑↑位逆序替换，就找到了对应的turn位置 /* 实现思路：系数表示法—>点值表示法—>系数表示法。 后面的1表示要进行的变换是什么类型。 1表示从系数变为点值，-1表示从点值变为系数。 */ FFT(a,1),FFT(b,1); //从系数变为点值 for(int i=0;i<len;i++) a[i]=a[i]*b[i]; FFT(a,-1); //从点值变为系数 for(int i=1;i<=n;i++) out[i]+=a[i].x/len; for(int i=0;i<len;i++) a[i]=complex(0,0); for(int i=1;i<=n;i++) a[n+1-i]=complex(q[i],0); FFT(a,1); //从系数变为点值 for(int i=0;i<len;i++) a[i]=a[i]*b[i]; FFT(a,-1); //从点值变为系数 for(int i=1;i<=n;i++) out[n+1-i]-=a[i].x/len; for(int i=1;i<=n;i++) printf("%.3lf\n",out[i]); }
矩阵的各种运算
矩阵的转置
矩阵的运算
两个矩阵的和或差定义为对应元素求和或差。
用一个数乘矩阵定义为用其乘以矩阵中的每个数。
矩阵乘法
线性递推数列
邻接矩阵
简单图 G 的邻接矩阵 A = (aij) 是一个 | V | 阶的方阵，
其中若顶点 i 到顶点 j 有边则 aij = 1，反之 aij = 0。
图的邻接矩阵在一些图上的计数问题中有应用。
若 G 不是简单图，可以令 aij 表示顶点 i 到顶点 j 的边的数量。
图上路径计数
给一个有向图 G（可能有重边和自环），对于所有点对 (u, v)，
计算 u 到 v 的长度为 k 的路径有多少。
记所求答案为 f (k, u, v)，并令 a uv 表示顶点 u 到顶点 v 的边的数量，
则有：
可以发现这是矩阵的形式。
线性方程组
行初等变换
一个矩阵的行初等变换指的是对一个矩阵施行的下列变换：
1. 交换矩阵的两行；
2. 用一个非零的数乘矩阵的某一行；
3. 用一个数乘以矩阵的某一行后加到另一行。
对方程组的增广矩阵作行初等变换不改变对应方程组的解。
我们希望通过行初等变换将矩阵化为便于求解的形式。
一个思路就是将矩阵化为阶梯型矩阵。这个过程就是 高斯消元 。
- 我们从左到右考虑系数矩阵的每一列。
- 对于第 i 列，找到一行使第 i 个元素非 0，将此行与第 i 行交换，aii ！= 0。
- 然后我们对于每个 j 满足 j > i，将第 i 行乘以 −aji/aii 加到第 j 行上。
- 经过这样的操作，对于 j > i，有 aji = 0。
- 依次考虑 1 ≤ i ≤ n 就完成了高斯消元的过程。时间复杂度为O(n^3)。
可以发现，高斯消元之后，第 n 个方程已经给出了第 n 个未知数的值。
将第 n 个未知数的值代入第 n − 1 个方程，就得到了第 n − 1 个未知数的值。
......反复如此做，就得到了所有未知数的值。
Q：如果在某一步的时候找不到对应的 aii！ = 0 怎么办？
A：这说明方程组没有唯一解，有可能是无解或者无穷多组解。
异或方程组
考虑取值为 0 或 1 的变量 x1, . . . , xn，给定 n 个条件，
每个条件选出一些变量并给出他们的异或值。
这其实就是 mod 2 意义下的线性方程组，也可以用高斯消元来解。
注意消元的过程其实就是将一个方程异或到另一个方程上，可用 bitset优化。
概率初步
随机变量与期望
期望的线性性质
图上的概率及期望问题
——时间划过风的轨迹，那个少年，还在等你。
