扩展KMP (Z 函数)

一些约定：

• 字符串下标从 $1$ 开始。
• $s[1,i]$ 表示字符串 $s$ 的第一个到第 $i$ 个字符组成的字符串。

Z 函数

我们定义：

• $z[i]$ 表示最大的 $len$ 使得 $B[1,len]=B[i,i+len-1]$。其中 $z[1]=m$。

• $Z-box$：这是我们在求 $z$ 数组时维护的一段区间，用两个变量 $l,r$ 表示，它表示目前为止 $B$ 中右端点最大的一个区间 $[l,r]$ 满足，$B[l,r]=B[1,r-l+1]$。

知道了一些定义我们就来看 $z$ 数组怎么求。
假设我们已经得出 $z[1]z[i-1]$ 了要求 $z[i]$，且目前的 $Z-box=[l,r]$。

1. $l\le i\le r$ (实际上如果 $i\le r$ , $i$ 一定满足 $l\le i\le r$)：

设 $r^{\prime }$ 表示 $r-l+1$，则 $B[1,r^{\prime }]=B[l,r]$ (为了下面叙述方便，我们称 $r^{\prime }$ 为 $r$ 的对应点)，图片中相同颜色代表这段区间相同。

我们再求出 $i$ 的对应点 $i^{\prime }=i-l+1$，则 $B[i^{\prime },r^{\prime }]=B[i,r]$。

假设 $z[i^{\prime }]=len$ 则 $B[1,len]=B[i^{\prime },i^{\prime }+len-1]$，现在又有两种情况：

• $len\le r-i+1$： 此时 $B[1,len]=B[i^{\prime },i^{\prime }+len-1]=B[i,i+len-1]$，又因为 $i+len-1$ 并未超过 $Z-box$ 的右端点，所以必有 $z[i]=len$。

  

• 而如果 $len>r-i+1$，如下图

  

我们无法确定绿色部分是否相同，因此不能直接把 $len$ 赋给 $z[i]$，但我们可以保证 $z[i]\ge r-i+1$，$r$ 后面的部分我们暴力扫描判断。

2. $i>r$： 同样也是暴力往后扫描即可。

每次求完 $z[i]$ 后如果 $i+z[i]-1>r$ 则用 $i$ 和 $i+z[i]-1$ 更新 $l,r$。

求 $z$ 数组的代码如下：

	z[1]=m,l=0,r=0;
	for(int i=2;i<=m;i++)
	{
		if(i<=r) z[i]=min(z[i-l+1],r-i+1);
		while(b[i+z[i]]==b[1+z[i]]) z[i]++; //如果i>r那这里z[i]一开始是0
		if(i+z[i]-1>r) r=i+z[i]-1,l=i; 
	}

复杂度分析： 会发现一旦出现暴力遍历的情况必然会更新右端点 $r$，而右端点只能更新 $O(n)$ 次，再 $r=n$ 之后就不会出现暴力扫描的情况了，因此复杂度是 $O(n)$。

P5410 【模板】扩展 KMP/exKMP（Z 函数）

求解 $p$ 数组的过程是差不多的。

Code:

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=2e7+5;
inline int read(){
    int w = 1, s = 0;
    char c = getchar();
    for (; c < '0' || c > '9'; w *= (c == '-') ? -1 : 1, c = getchar());
    for (; c >= '0' && c <= '9'; s = 10 * s + (c - '0'), c = getchar());
    return s * w;
}
char a[N],b[N];
int n,m;
string s1,s2;
int z[N],p[N];
int l,r;
int ans1,ans2;
signed main()
{
	cin>>s1>>s2;
	n=s1.size(),m=s2.size();
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=s1[i-1];
	for(int i=1;i<=m;i++) b[i]=s2[i-1];
	z[1]=m,l=0,r=0;
	for(int i=2;i<=m;i++){
		if(i<=r) z[i]=min(z[i-l+1],r-i+1);
		while(b[i+z[i]]==b[1+z[i]]) z[i]++;
		if(i+z[i]-1>r) r=i+z[i]-1,l=i; 
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		ans1^=(z[i]+1)*i;
	}
	l=0,r=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(i<=r) p[i]=min(z[i-l+1],r-i+1);
		while(a[i+p[i]]==b[1+p[i]]&&i+p[i]<=n&&1+p[i]<=m) p[i]++;   
			//注意这里要判断边界 
		if(i+p[i]-1>r) r=i+p[i]-1,l=i;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		ans2^=(p[i]+1)*i;
	}
	printf("%lld\n%lld\n",ans1,ans2);
	return 0;
}

本博客参考的网址：

[C++]洛谷：【模板】扩展 KMP（Z 函数） 算法详解