欧几里得

欧几里得

define(定义) \(yygcd(a, b) = c\) 为 \(a, b\) 的公约数。

这里的 \(yygcd(a, b)\) 可以理解为 \(gcd(a, b)\)，不过在未证明求出来的公约数就是最大公约数的时候，用 \(yygcd\) 表示，更加严谨。

关于欧几里得定理这个东西，我在全网上也没有找到什么好的讲解。所以决定自己来写一写自己都证了好久

欧几里得的应用一般是用在求 \(gcd\) 的时候用的，用辗转相除发递归求 \(gcd\) 。

相信大家一般都是直接用的，没有想过去证明它，认为他很显然 是吧。

我最开始也是这样以为的，但是却发现自己证了好久。 肯定是我太菜了

不多废话。。。

我就只讲一下欧几里得求 \(gcd\) 的证明。好像欧几里得就这个作用

先写出众所周知的公式：

\(gcd(a, b) = gcd(b, a \% b)\)

然后不断递归就行了。

现在来证明如上等式：

令 \(yygcd(a, b) = c\)，

那么， \(a = c * k1\)，\(b = c * k2\) (\(k1\) 和 \(k2\) 互质)

那么， \(yygcd(a, b) = yygcd(c * k1, c * k2)\)

\(a \% b = c * (k1 \% c) * k2 = (k1 \% k2) * c\)

上面这一步需要好好理解一下，如果\(k1\) 和 \(k2\)不互质的话就没有这个结论

证明如下：

原式可以展开如下 ： \(c * k1 = c * k2 * t + e\)

这个 \(t\) 可以为 \(0\)，而这个 \(e\) 就是 \(a \% b\) 了

\(a \% b = c * k1 - c * k2 * t = c * (k1 - k2 * t)\) 这里不就可以显然的看出 \(a \% b\) 就是 \(c\) 的倍数了。

再写出它需要到达的状态:

\(yygcd(b, a \% b) = yygcd(c * k2, c * k1 \% c * k2)\)

在如上面所证，提取一个 \(c\)

=》 \(yygcd(c * k2, c * (k1 \% k2))\)

我们只需要证明这个东西和原式的 \(yygcd\) 相等就行。

那么，我们还需要知道的是 \(k2\) 和 \(k1 \% k2\) 互质。

那么就能保证两数的 \(yygcd\) 是相等的。

令 \(k3 = k1 \% k2\)

那么，\(k1 = k2 * t + k3\)

用反证法可得：

如果 \(k2\) 和 \(k3\) 不互质，那么肯定有一个会存在一个 \(d\);

使 \(k3 = d * p3\), \(k2 = d * p2\).

那么 \(k1 = k2 * t + k3 = p2 * d * t + p3 * d = d * (p2 * t + p3)\)

所以，\(yygcd(k1, k2) = d\) 又因为 \(yygcd(k1, k2) = 1\)

\(d\) 只能等于 \(1\)。所以 \(k3\) 和 \(k2\) 互质。

所以 \(k2\) 和 \(k1 \% k2\) 互质。

又因为，\(yygcd(a, b) = yygcd(b, a \% b)\).

所以，窝们可以知道 \(gcd(a, b) = gcd(b, a \% b)\)

证毕！QAQ

放个代码，虽然没什么用：

int gcd(int x, int y) {
    if(y == 0) return x;
    return gcd(y , x % y);
}