[题解] Codeforces Round 895 (Div. 3) F~G

合集 - 题解(13)

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5.[题解] Codeforces Round 895 (Div. 3) F~G2023-09-09

6.[题解} CF1217D Coloring Edges2023-09-107.[题解] CF1873H - Mad City2023-09-228.[题解] Codeforces Round 900（Div.3） E~F2023-09-279.[题解] CF1882D - Tree XOR2023-09-2710.[题解] CF1003E - Tree Constructing2023-09-2911.[题解] CF632F - Swimmers in the Pool2023-10-0312.[题解] CF1245D - Shichikuji and Power Grid2023-10-0613.[题解] CF1790E - XOR Tree2023-10-17

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Codeforces Round 895 (Div. 3) F~G

F. Selling a Menageri

考虑如何让卖出的价格翻倍，那么自然是从 $i\to a_i$ 。通过这样连边，我们可以发现，边集构成了基环树森林。显而易见的是，如果不考虑环，那么图就是拓扑图，按照拓扑关系跑一遍，就可以使得所有点价值最多。

现在考虑环上的问题。如果出现一个环，那么会出现循环的问题：我们从哪里开始？因为这里形成了一个简单环，那么说明这个环上需要有一个不能被满足翻倍价格，也就是让其中一个点的前驱优先实现，则此时该边在图上不存在，该基环树变成有向无环图，此时可以通过拓扑排序得到序列。

问题是我们要如何确定让哪个点不被翻倍呢？贪心的想，让环中点权值最小的点不被翻倍即可，即断开在这个环中连向这个权值最小的边断开，即可。

最后，我们只需要对处理后的图跑一遍拓扑，即可得到答案序列。

这里处理环使用了强连通分量找环，写得比较麻烦。

void Main() {
    int n;
    std::cin >> n;
 
    std::vector<int> a(n);
    for (auto &item : a) {
        std::cin >> item;
        item --;
    }
    std::vector<int> vw(n);
    for (auto &item : vw) {
        std::cin >> item;
    }
 
    std::vector adj(n, std::vector<int>{});
    for (int i = 0; i < n; i ++) {
        adj[i].emplace_back(a[i]);
    }
 
    std::vector<int> dfn(n, -1), low(n, -1), scc_id(n, -1);
    std::vector<std::vector<int>> scc;
    int scc_cnt = 0;
    std::vector<int> stk;
    std::vector<bool> inst(n);
 
    auto tarjan = [&, stamp{0}](auto &self, int from) mutable -> void {
        dfn[from] = low[from] = stamp ++;
        stk.emplace_back(from);
        inst[from] = true;
 
        for (auto to : adj[from]) {
            if (dfn[to] == -1) {
                self(self, to);
                low[from] = std::min(low[from], low[to]);
            } else if (inst[from]) {
                low[from] = std::min(low[from], dfn[to]);
            }
        }
 
        if (dfn[from] == low[from]) {
            int v;
            scc.emplace_back(std::vector<int>{});
            do {
                v = stk.back();
                stk.pop_back();
                inst[v] = false;
                scc_id[v] = scc_cnt;
                scc.back().emplace_back(v);
            } while (v != from);
            scc_cnt ++;
        }
    };
 
    for (int i = 0; i < n; i ++) {
        if (dfn[i] == -1) {
            tarjan(tarjan, i);
        }
    }
 
    std::vector<bool> fuk(n);
    for (auto &list : scc) {
        std::ranges::sort(list, std::less{}, [&](auto x) { return vw[x]; });
        if (list.size() >= 2) {
            fuk[list.front()] = true;
        }
    }
 
    std::vector radj(n, std::vector<int>{});
    std::vector<int> ind(n);
 
    for (int i = 0; i < n; i ++) {
        if (!fuk[i]) {
            radj[i].emplace_back(a[i]);
            ind[a[i]] ++;
        }
    }
 
    std::vector<int> ans;
    ans.reserve(n);
    for (int i = 0; i < n; i ++) {
        if (ind[i] == 0) {
            ans.emplace_back(i);
        }
    }
 
    for (int i = 0; i < std::min<int>(n, ans.size()); i ++) {
        int from = ans[i];
        for (auto to : radj[from]) {
            if (-- ind[to] == 0) {
                ans.emplace_back(to);
            }
        }
    }
 
    assert((int)ans.size() == n);
    for (auto item : ans) {
        std::cout << item + 1 << ' ';
    }
    std::cout << '\n';
}

G. Replace With Product

因为 $1$ 与其他数相乘后的结果会使得总和减少 $1$ ，所以我们要避免过多的 $1$ 被处理。因此，首先我们可以将两边多余的 $1$ 先排除掉。

排除掉之后，我们仍然无法确定中间存在的 $1$ 是否会对答案存在影响。考虑到相乘大小膨胀非常大，因此我们可以预处理这个范围内的相乘结果，如果比和的最大结果还大，那么可以直接选择这段区域。

如果还是不能确定是不是，还是由于相乘大小增长非常大，假设剩下的大于 $1$ 的数字都是 $2$ ，那么其一定不会太多，否则相乘结果非常大，满足之前的结论。

因为这些零散的数字比较少，我们直接两重循环遍历求解即可。

void Main() {
    int n;
    std::cin >> n;
    
    std::vector<i64> a(n);
    for (auto &item : a) {
        std::cin >> item;
    }
    
    if (std::ranges::count(a, 1) == n) {
        std::cout << 1 << ' ' << 1 << '\n';
        return;
    }
    
    int l = 0, r = n - 1;
    while (a[l] == 1) {
        l ++;
    }
    while (a[r] == 1) {
        r --;
    }
 
    i64 tot = 1;
    for (int i = l; i <= r; i ++) {
        tot *= a[i];
        if (tot > 1e9) {
            std::cout << l + 1 << ' ' << r + 1 << '\n';
            return;
        }
    }
 
    std::vector<int> pos;
    for (int i = l; i <= r; i ++) {
        if (a[i] > 1)
            pos.emplace_back(i);
    }
 
    tot = reduce(a.begin(), a.end());
    auto pre_ret = tot;
        
    int L = 0, R = 0;
    for (int i = 0; i < pos.size(); i ++) {
        i64 m = 1, s = 0;
        for (int j = i; j < pos.size(); j ++) {
            int l = pos[i], r = pos[j];
            m *= a[r];
            s += a[r] - 1;
            auto ret = tot - (r - l + 1) - s + m;
 
            if (pre_ret < ret) {
                pre_ret = ret;
                L = l;
                R = r;
            }
        }
    }
 
    std::cout << L + 1 << ' ' << R + 1 << '\n';
}