线性神经网络(Linear Network Hypothesis)
这里用推荐系统的应用实例引出矩阵分解:
现在有一个电影评分预测问题,那么数据集的组成为:
\[\left\{ \left( \tilde { \mathbf { x } } _ { n } = ( n ) , y _ { n } = r _ { n m } \right) : \text { user } n \text { rated movie } m \right\}
\]
其中 \(\tilde { \mathbf { x } } _ { n } = (n)\) 是一种抽象的类别(categorical)特征。
什么是类别特征呢?举例来说:比如ID号,血型(A,B,AB,O),编程语言种类(C++,Python,Java)。
但是大部分机器学习算法都是基于数值型特征实现的,当然决策树除外。所以现在需要将类别特征转换(编码,encoding)为数值特征。这里需要转换的特征是ID号。使用的工具是二值向量编码(binary vector encoding),也就是向量的每个元素只有两种数值选择,这里选择的是 0/1 向量编码,对应关系是向量中的第 ID 个元素为 1,其他元素均为 0。
那么第 m 个电影编码后的数据集 \(\mathcal D_m\) 可以表示为:
\[\left\{ \left( \mathbf { x } _ { n } = \text { Binary VectorEncoding } ( n ) , y _ { n } = r _ { n m } \right) : \text { user } n \text { rated movie } m \right\}
\]
如果将全部的电影数据整合到一起的数据集 \(\mathcal D\) 可以表示为:
\[\left\{ \left( \mathbf { x } _ { n } = \text { Binary VectorEncoding } ( n ) , \mathbf { y } _ { n } = \left[ \begin{array} { l l l l l l } r _ { n 1 } & ? & ? & r _ { n 4 } & r _ { n 5 } & \ldots & r _ { n M } \end{array} \right] ^ { T } \right) \right\}
\]
其中 \(?\) 代表了该电影未评分。
现在的想法是使用一个 \(N - \tilde { d } - M\) 神经网络进行特征提取:
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现在先使用线性的激活函数,那么由此得到的线性神经网络的结构示意图为:
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基本矩阵分解(Basic Matrix Factorization)
那么现在将权重矩阵进行重命名:
\[\mathrm { V } ^ { T } \text { for } \left[ w _ { n i } ^ { ( 1 ) } \right] \text { and } \mathrm { W } \text { for } \left[ w _ { i m } ^ { ( 2 ) } \right]
\]
那么假设函数可以写为:
\[\mathrm { h } ( \mathrm { x } ) = \mathrm { W } ^ { T } \underbrace { \mathrm { Vx } } _ { \Phi ( \mathrm { x } ) }
\]
矩阵 \(\mathrm { V }\) 实际上就是特征转换 \(\Phi ( \mathrm { x } )\),然后再使用 \(\mathrm { W }\) 进行实现一个基于转换数据的线性模型。那么根据 ID 的数值编码规则,第 \(n\) 个用户的假设函数可以写为:
\[\mathrm { h } \left( \mathrm { x } _ { n } \right) = \mathrm { W } ^ { T } \mathbf { v } _ { n } , \text { where } \mathbf { v } _ { n } \text { is } n \text { -th column of } \mathrm { V }
\]
第 \(m\) 个电影的假设函数可以写为:
\[h _ { m } ( \mathbf { x } ) = \mathbf { w } _ { m } ^ { T } \mathbf { \Phi } ( \mathbf { x } )
\]
那么对于推荐系统来说现在需要进行 \(\mathrm { W }\) 和 \(\mathrm { V }\) 的最优解求取。
对于\(\mathrm { W }\) 和 \(\mathrm { V }\) 来说理想状态是:
\[r _ { n m } = y _ { n } \approx \mathbf { w } _ { m } ^ { T } \mathbf { v } _ { n }= \mathbf { v } _ { n } ^ { T } \mathbf { w } _ { m } \Longleftrightarrow \mathbf { R } \approx \mathbf { V } ^ { T } \mathbf { W }
\]
也就是说特征转换矩阵 \(\mathbf { V }\) 和线性模型矩阵 \(\mathbf { W }\) 相乘的结果是评分矩阵。
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还记得在机器学习基石中的评分预测示意图吗?观看者和电影都有自己的特征向量,只需要计算两个向量的相似度便可以用了预测评分。观看者和电影向量在这里指的是 \(\mathbf { v } _ { n }\) 和 \(\mathbf { w } _ { m }\)。
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那么对于数据集 \(\mathcal D\) ,该假设函数的基于平方误差的误差测量为:
\[E _ { \mathrm { in } } \left( \left\{ \mathbf { w } _ { m } \right\} , \left\{ \mathbf { v } _ { n } \right\} \right) = \frac { 1 } { \sum _ { m = 1 } ^ { M } \left| \mathcal { D } _ { m } \right| } \sum _ { \text {user } n \text { rated movie } m } \left( r _ { n m } - \mathbf { w } _ { m } ^ { T } \mathbf { v } _ { n } \right) ^ { 2 }
\]
那么现在就要根据数据集 \(\mathcal D\) 进行 \(\mathbf { v } _ { n }\) 和 \(\mathbf { w } _ { m }\) 的学习来保证误差最小。
\[\begin{aligned} \min _ { \mathrm { W } , \mathrm { V } } E _ { \mathrm { in } } \left( \left\{ \mathbf { w } _ { m } \right\} , \left\{ \mathbf { v } _ { n } \right\} \right) & \propto \sum _ { \mathrm { user } n \text { rated movie } m } \left( r _ { n m } - \mathbf { w } _ { m } ^ { T } \mathbf { v } _ { n } \right) ^ { 2 } \\ & = \sum _ { m = 1 } ^ { M } \left( \sum _ { \left( \mathbf { x } _ { n } , r _ { n m } \right) \in \mathcal { D } _ { m } } \left( r _ { n m } - \mathbf { w } _ { m } ^ { T } \mathbf { v } _ { n } \right) ^ { 2 } \right) (1)\\
& = \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left( \sum _ { \left( \mathbf { x } _ { n } , r _ { n m } \right) \in \mathcal { D } _ { m } } \left( r _ { n m } - \mathbf { v } _ { n } ^ { T } \mathbf { w } _ { m } \right) ^ { 2 } \right) (2) \end{aligned}
\]
由于上式中有 \(\mathbf { v } _ { n }\) 和 \(\mathbf { w } _ { m }\) 两个变量,同时优化的话可能会很困难,所以基本的想法是使用交替最小化操作(alternating minimization):
- 固定 \(\mathbf { v } _ { n }\),也就是说固定用户特征向量,然后求取每一个 \(\mathbf { w } _ { m } \equiv \text { minimize } E _ { \text {in } } \text { within } \mathcal { D } _ { m }\)。
- 固定 \(\mathbf { w } _ { m }\),也就是说电影的特征向量,然后求取每一个 \(\mathbf { v } _ { n } \equiv \text { minimize } E _ { \text {in } } \text { within } \mathcal { D } _ { m }\)。
这一过程叫做交替最小二乘算法(alternating least squares algorithm)。该算法的具体实现如下:
\[\begin{array} { l } \text { initialize } \tilde { d } \text { dimension vectors } \left\{ \mathbf { w } _ { m } \right\} , \left\{ \mathbf { v } _ { n } \right\} \\ \text { alternating optimization of } E _ { \text {in } } : \text { repeatedly } \\ \qquad \text { optimize } \mathbf { w } _ { 1 } , \mathbf { w } _ { 2 } , \ldots , \mathbf { w } _ { M } \text { : } \text { update } \mathbf { w } _ { m } \text { by } m \text { -th-movie linear regression on } \left\{ \left( \mathbf { v } _ { n } , r _ { n m } \right) \right\} \\ \qquad \text { optimize } \mathbf { v } _ { 1 } , \mathbf { v } _ { 2 } , \ldots , \mathbf { v } _ { N } \text { : } \text { update } \mathbf { v } _ { n } \text { by } n \text { -th-user linear regression on } \left\{ \left( \mathbf { w } _ { m } , r _ { n m } \right) \right\} \\ \text { until converge } \end{array}
\]
初始化过程使用的是随机(randomly)选取。随着迭代的过程保证了 \(E _ { \text {in } }\) 不断下降,由此保证了收敛性。交替最小二乘的过程更像用户和电影在跳探戈舞。
线性自编码器与矩阵分解(Linear Autoencoder versus Matrix Factorization)
\[\begin{array}{c|c|c}
&\text{Linear Autoencoder}&\text{Matrix Factorization}\\
\hline
\text{goal} &\mathrm { X } \approx \mathrm { W } \left( \mathrm { W } ^ { T } \mathrm { X } \right)&\mathbf { R } \approx \mathbf { V } ^ { T } \mathbf { W }\\ \hline
\text{motivation}&\text { special } d - \tilde { d } - d \text { linear NNet }&N - \tilde { d } - M \text { linear NNet }\\ \hline
\text{solution} &\text { global optimal at eigenvectors of } X ^ { T } X & \text {local optimal via alternating least squares } \\ \hline
\text { usefulness} & \text { extract dimension-reduced features } & \text { extract hidden user/movie features }
\end{array}
\]
所以线性自编码器是一种在矩阵 \(\mathrm{X}\) 做的特殊的矩阵分解。
随机梯度法(Stochastic Gradient Descent)
相比交替迭代优化,另一种优化思路是随机梯度下降法。
回顾一下矩阵分解的误差测量函数:
\[E _ { \mathrm { in } } \left( \left\{ \mathbf { w } _ { m } \right\} , \left\{ \mathbf { v } _ { n } \right\} \right) \propto \sum _ { \text {user } n \text { rated movie } m } \underbrace { \left( r _ { n m } - \mathbf { w } _ { m } ^ { T } \mathbf { v } _ { n } \right) ^ { 2 } } _ { \text {err(user } n , \text { movie } m , \text { rating } r_{nm} )}
\]
随机梯度下降法高效且简单,可以拓展于其他的误差测量。
由于每次只是拿出一个样本进行优化,那么先观察一下单样本的误差测量:
\[\operatorname { err } \left( \text {user } n , \text { movie } m , \text { rating } r _ { n m } \right) = \left( r _ { n m } - \mathbf { w } _ { m } ^ { T } \mathbf { v } _ { n } \right) ^ { 2 }
\]
那么偏导数为:
\[\begin{array} { r l } \nabla _ { \mathbf { v } _ { n } } & \operatorname { err } \left( \text { user } n , \text { movie } m , \text { rating } r _ { n m } \right) = - 2 \left( r _ { n m } - \mathbf { w } _ { m } ^ { T } \mathbf { v } _ { n } \right) \mathbf { w } _ { m } \\ \nabla _ { \mathbf { w } _ { m } } & \operatorname { err } \left( \text { user } n , \text { movie } m , \text { rating } r _ { n m } \right) = - 2 \left( r _ { n m } - \mathbf { w } _ { m } ^ { T } \mathbf { v } _ { n } \right) \mathbf { v } _ { n } \end{array}
\]
也就是说只对当前样本的 \(\mathbf { v } _ { n }\) 和 \(\mathbf { w } _ { m }\) 有影响,而其他的参数的偏导均为零。总结来说就是:
\[\text {per-example gradient } \propto - ( \text { residual } ) ( \text { the other feature vector } )
\]
那么使用随机梯度下降法求解矩阵分解的实际步骤为:
\[\begin{array} { l } \text { initialize } \tilde { d } \text { dimension vectors } \left\{ \mathbf { w } _ { m } \right\} , \left\{ \mathbf { v } _ { n } \right\} \text { randomly } \\ \text{ for } t = 0,1 , \ldots , T \\ \qquad \text { (1) randomly pick } ( n , m ) \text { within all known } r _ { n m } \\ \qquad \text { (2) calculate residual } \tilde { r } _ { n m } = \left( r _ { n m } - \mathbf { w } _ { m } ^ { T } \mathbf { v } _ { n } \right) \\ \qquad \text { (3) SGD-update: } \\ \qquad\qquad\qquad \begin{aligned} \mathbf { v } _ { n } ^ { n e w } & \leftarrow \mathbf { v } _ { n } ^ { o l d } + \eta \cdot \tilde { r } _ { n m } \mathbf { w } _ { m } ^ { o l d } \\ \mathbf { w } _ { m } ^ { n e w } & \leftarrow \mathbf { w } _ { m } ^ { o l d } + \eta \cdot \tilde { r } _ { n m } \mathbf { v } _ { n } ^ { o l d } \end{aligned} \end{array}
\]
但是注意一点随机梯度下降法是针对随机选到的样本进行优化的,那么针对一些对时间比较敏感的数据分析任务,比如近期的数据更有效,那么随机梯度下降法的随机选取应该偏重于近期的数据样本,那么效果可能会好一些。如果你明白这一点,那么在实际运用中会更容易修改该算法。
提取模型:思路是将特征转换作为隐变量嵌入线性模型(或者其他基础模型)中。也就是说除了模型的学习,还需要从资料中学到怎么样作转换能够有效的表现资料。
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在神经网络或者深度学习中,隐含层的前 L - 1 层(\(\text { weights } w _ { i j } ^ { ( \ell ) }\))是进行特征的转换,最后一层是线性模型(\(\text { weights } w _ { i j } ^ { ( L ) }\))。也就是说在学习线性模型的同时,也学到了那些隐藏的转换。
在RBF网络中,最后一层也是线性模型(\(\text { weights } \beta _{ m }\),而中间潜藏的变数(中心代表,\(\text { RBF centers } \mu _ { m }\))也是一种特征的学习。
而在矩阵分解中,学习到了两个特征那就是 \(\mathbf { w } _ { m }\) 和 \(\mathbf { v } _ { n }\),两者可以叫线性模型的权重也可以叫特征向量,这是相对于用户还是电影,不同的对象功能不同。
而在 自适应提升和梯度提升(Adaptive/Gradient Boosting)中,实际上假设函数 \(g_t\) 的求解就是一种特征的学习,而所学习到的系数 \(\alpha_t\) 则是线性模型的权重系数。
相对来说在 k 邻近算法中,这 Top k 的邻居则是一种特征转换。而各个邻居投票系数 \(y_n\) 则是一种线性模型的权重系数。
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在神经网络或者深度学习中,则使用的是基于随机梯度下降法(SGD)的反向传播算法(backprop)。同时其中有一种特殊的实现:自编码器,将输入和输出保持一样,学习出一种压缩编码。
在RBF网络中,使用 k 均值聚类算法(k-means clustering)找出那些中心。
而在矩阵分解中,则可以使用的是 交替最小二乘(alternating leastSQR)和随机梯度下降(SGD)。
而在 自适应提升和梯度提升(Adaptive/Gradient Boosting)中,使用的技巧是梯度下降法(functional gradient descent)的思路还获取假设函数 \(g_t\) 的。
相对来说在 k 邻近算法中,则使用的是一种 lazy learning,什么意思呢?在训练过程中不做什么事情,而在测试过程中,拿已有的数据做一些推论。
提取模型的优缺(Pros and Cons of Extraction Models)
提取模型(Neural Network/Deep Learning、RBF Network 、Matrix Factorization)的优缺点如下:
优点:
- easy: reduces human burden in designing features
简单:减小了设计特征的人力负担
- powerful : if enough hidden variables considered
强有力:如果考虑足够多的隐变量的话
缺点
- hard: non-convex optimization problems in general
困难:通常是非凸优化问题
- overfitting: needs proper regularization/validation
过拟合:由于很有力,所以要合理使用正则化和验证工具