史赖伯消元法

📚 史赖伯（Schreiber）是谁？

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✅ 1. 史赖伯（Schreiber）简介

• Carl Schreiber（卡尔·史赖伯）是一位德国数学家，主要在 最小二乘平差 和 矩阵消元法 方面做出了重要贡献。
• 他提出的 史赖伯消元法（Schreiber Elimination Method），在 测量平差 中广泛应用，尤其在 消去定向角变量 和 解正规方程 方面具有显著优势。

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📐 2. 史赖伯法的基本原理

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✅ （1）最小二乘法背景

• 目标：求解方程组 AX=LAX = L，使 残差平方和 最小。

VTPV=minV^T P V = \text{min}

• 通过 正规方程 求解：

NX=WN X = W

• N=ATPAN = A^T P A —— 法矩阵
• W=ATPLW = A^T P L —— 常数项

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✅ （2）史赖伯消元法核心思想

史赖伯消元法的核心在于：

• 消去部分未知量（如定向角），将法方程降阶，减少计算量。
• 采用 顺序消元法（类似高斯消元），将矩阵逐步转换为 上三角矩阵，然后回代求解。

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✅ （3）消元基本步骤

• 步骤 1：选取主元消元
  • 选择对角线主元 akka_{kk}
  • 消去第 kk 列以下的所有元素

aij(k+1)=aij(k)−aikakjakk,for i,j>ka_{ij}^{(k+1)} = a_{ij}^{(k)} - \frac{a_{ik} a_{kj}}{a_{kk}}, \quad \text{for } i, j > k

• 步骤 2：继续消元

  • 对剩余部分重复消元，直至得到 上三角矩阵

• 步骤 3：回代求解

  • 从最后一行开始求解
  • 利用回代公式：

xi=Wi−∑j=i+1nNijxjNiix_i = \frac{W_i - \sum_{j=i+1}^{n} N_{ij} x_j}{N_{ii}}

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🎯 3. 史赖伯法的优点

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✅ （1）消去定向角，提高计算效率

• 在 测量平差 中，可以通过消元消去 定向角变量，将方程规模降维。
• 消元后，法矩阵维度降低，计算复杂度显著降低。

✅ （2）矩阵维度减小，求解更快

• 经过消元后，法矩阵变为 2×2 或 3×3 矩阵，求逆更容易。
• 特别适用于 测角、测距平差 等问题。

✅ （3）结果精度高

• 由于逐步消元，每一步都保持数据的高精度，有利于减少误差积累。

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📊 4. 史赖伯消元法的应用

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✅ （1）定向角消元

• 在 测量网平差 中，通过消去 定向角 来简化法方程。

✅ （2）光束法平差（Bundle Adjustment）

• 在 摄影测量 和 点云处理 中，用于求解位姿参数和坐标。

✅ （3）大地测量网平差

• 处理 GPS 数据平差 和 观测网优化。

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🧠 5. 数学模型与示例

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（1）原始方程：

[4−21−24−21−24][x1x2x3]=[11−1617] $$\begin{bmatrix} 4 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & -2 \\ 1 & -2 & 4 \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}$$ = $$\begin{bmatrix} 11 \\ -16 \\ 17 \end{bmatrix}$$

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（2）消去定向角 x3x_3：

• 消元公式：

Nij(1)=Nij−Ni3N3jN33,Wi(1)=Wi−Ni3W3N33N_{ij}^{(1)} = N_{ij} - \frac{N_{i3} N_{3j}}{N_{33}}, \quad W_i^{(1)} = W_i - \frac{N_{i3} W_3}{N_{33}}

• 化简后得到 二阶矩阵：

[N11(1)N12(1)N21(1)N22(1)] $$\begin{bmatrix} N_{11}^{(1)} & N_{12}^{(1)} \\ N_{21}^{(1)} & N_{22}^{(1)} \end{bmatrix}$$

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🚀 6. 史赖伯法 vs. 其他方法

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方法	计算复杂度	适用范围	优点
史赖伯消元法	O(n3)O(n^3)	中小规模平差	消元降维、计算效率高
高斯消元法	O(n3)O(n^3)	一般线性方程	直接求解方程
Cholesky 分解法	O(n3)O(n^3)	大规模法方程	专门用于对称正定矩阵
迭代法（如雅可比）	O(n2)O(n^2)	大规模稀疏矩阵	适合大规模矩阵，内存占用少

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🎉 7. 结论

• 史赖伯消元法 适用于 测量平差、光束法平差、GPS 观测网优化 等领域，尤其在 定向角消元 时效率显著提升。
• 通过逐步消元，可以有效降低法方程维度，提高计算速度，保证解的稳定性。

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