【快速学】记忆常用泰勒公式

记忆泰勒展开公式（讨论x->0时的情况，下面不再赘述）

x->0时，有

$\begin{array}{l}\sin x=x-\frac{1}{3 !} x^{3}+\frac{1}{5 !} x^{5}+o\left(x^{5}\right) \\
\cos x=1-\frac{1}{2 !} x^{2}+\frac{1}{4 !} x^{4}+o\left(x^{4}\right) \\
\tan x=x+\frac{1}{3} x^{3}+o\left(x^{3}\right) \\
\arcsin x=x+\frac{1}{2} \times \frac{x^{3}}{3}+\frac{1 \times 3}{2 \times 4} \times \frac{x^{5}}{5}+\frac{1 \times 3 \times 5}{2 \times 4 \times 6} \times \frac{x^{7}}{7}+o\left(x^{7}\right) \\
\arctan x=x-\frac{1}{3} x^{3}+o\left(x^{3}\right) \\
e^{x}=1+\frac{1}{1 !} x+\frac{1}{2 !} x^{2}+\frac{1}{3 !} x^{3}+o\left(x^{3}\right) \\
\ln (1+x)=x-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{3} x^{3}+o\left(x^{3}\right) \\
\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+x^{3}+o\left(x^{3}\right) \\
(1+x)^{a}=1+\frac{a}{1 !} x+\frac{a(a-1)}{2 !} x^{2}+\frac{a(a-1)(a-2)}{3 !} x^{3}+o\left(x^{3}\right)
\end{array}$

 

一、大前提

1.1 理解

泰勒展开用多项式去表示一个函数(只在x=0处的一个小邻域内)

1.2 泰勒展开的第一项

计算该函数在x=0时的函数值a，

  若a=1，则展开式的第一项是1

  若a=0，则展开式的第一项是x（求函数在x=0处的斜率k，第一项为kx）

1.3 加/减

第一项和第二项都是正数，则后面都是正数

第一项和第二项异号，则后面的符号按照前两项的情况轮回

二、三角函数

三阶及以下的展开一定要记住，其他的随缘

arcsin,arctan只记住三阶及以下的即可

2.1 奇偶性

sinx是奇函数，故sinx的泰勒展开式只有奇数次幂

tanx是奇函数，故tanx的泰勒展开式只有奇数次幂

cosx是偶函数，故cosx的泰勒展开式只有偶数数次幂

2.2 带不带阶乘（只是一种记忆方法）

tanx=sinx/cosx

sinx和cosx是一伙的，sinx和cosx都带阶乘，tanx不带阶乘

2.3 加/减

以sinx函数为例，

x->0⁺时，sinx<x，展开式的第一项为x，第二项应该在x的基础上减去一个数，故第二项为-x³/3!

x->0^-时，sinx>x，此时x<0，-x³/3!>0。结果还是对的

后面的符号情况，根据上面 1.3 加/减 中的内容即可得知

三、指对数

没有奇偶性，故所有次幂项都存在

e^x是指数函数，且增加很快，带阶乘

ln(x+1)是对数函数，增加很慢，加减结合，不带阶乘

四、分式

以e^x为基，记忆分式的展开式

1/(1-x)，画图发现它增加很快（x->1^-时，趋近于正无穷，比e^x还快），把e^x中的分母（那些阶乘式）去掉即可

(1+x)^a，它增加的也比e^x快，在分子上加了项。几次幂就加几个项，从a开始递减的等差数列