【快速学】记忆常用泰勒公式

记忆泰勒展开公式(讨论x->0时的情况,下面不再赘述)

x->0时,有

sinx=x13!x3+15!x5+o(x5)cosx=112!x2+14!x4+o(x4)tanx=x+13x3+o(x3)arcsinx=x+12×x33+1×32×4×x55+1×3×52×4×6×x77+o(x7)arctanx=x13x3+o(x3)ex=1+11!x+12!x2+13!x3+o(x3)ln(1+x)=x12x2+13x3+o(x3)11x=1+x+x2+x3+o(x3)(1+x)a=1+a1!x+a(a1)2!x2+a(a1)(a2)3!x3+o(x3)

 

一、大前提

1.1 理解

泰勒展开用多项式表示一个函数(只在x=0处的一个小邻域内)

1.2 泰勒展开的第一项

计算该函数在x=0时的函数值a,

  若a=1,则展开式的第一项是1

  若a=0,则展开式的第一项是x(求函数在x=0处的斜率k,第一项为kx)

1.3 加/减

第一项和第二项都是正数,则后面都是正数

第一项和第二项异号,则后面的符号按照前两项的情况轮回

二、三角函数

三阶及以下的展开一定要记住,其他的随缘

arcsin,arctan只记住三阶及以下的即可

2.1 奇偶性

sinx是奇函数,故sinx的泰勒展开式只有奇数次幂

tanx是奇函数,故tanx的泰勒展开式只有奇数次幂

cosx是偶函数,故cosx的泰勒展开式只有偶数数次幂

2.2 带不带阶乘(只是一种记忆方法)

tanx=sinx/cosx

sinx和cosx是一伙的,sinx和cosx都带阶乘,tanx不带阶乘

2.3 加/减

以sinx函数为例,

x->0+时,sinx<x,展开式的第一项为x,第二项应该在x的基础上减去一个数,故第二项为-x3/3!

x->0-时,sinx>x,此时x<0,-x3/3!>0。结果还是对的

后面的符号情况,根据上面 1.3 加/减 中的内容即可得知

三、指对数

没有奇偶性,故所有次幂项都存在

ex是指数函数,且增加很快,带阶乘

ln(x+1)是对数函数,增加很慢,加减结合,不带阶乘

四、分式

以ex为基,记忆分式的展开式

1/(1-x),画图发现它增加很快(x->1-时,趋近于正无穷,比ex还快),把ex中的分母(那些阶乘式)去掉即可

(1+x)a,它增加的也比ex快,在分子上加了项。几次幂就加几个项,从a开始递减的等差数列

 

posted @   尚方咸鱼  阅读(1313)  评论(0编辑  收藏  举报
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