【快速学】记忆常用泰勒公式
记忆泰勒展开公式(讨论x->0时的情况,下面不再赘述)
x->0时,有
一、大前提
1.1 理解
泰勒展开用多项式去表示一个函数(只在x=0处的一个小邻域内)
1.2 泰勒展开的第一项
计算该函数在x=0时的函数值a,
若a=1,则展开式的第一项是1
若a=0,则展开式的第一项是x(求函数在x=0处的斜率k,第一项为kx)
1.3 加/减
第一项和第二项都是正数,则后面都是正数
第一项和第二项异号,则后面的符号按照前两项的情况轮回
二、三角函数
三阶及以下的展开一定要记住,其他的随缘
arcsin,arctan只记住三阶及以下的即可
2.1 奇偶性
sinx是奇函数,故sinx的泰勒展开式只有奇数次幂
tanx是奇函数,故tanx的泰勒展开式只有奇数次幂
cosx是偶函数,故cosx的泰勒展开式只有偶数数次幂
2.2 带不带阶乘(只是一种记忆方法)
tanx=sinx/cosx
sinx和cosx是一伙的,sinx和cosx都带阶乘,tanx不带阶乘
2.3 加/减
以sinx函数为例,
x->0+时,sinx<x,展开式的第一项为x,第二项应该在x的基础上减去一个数,故第二项为-x3/3!
x->0-时,sinx>x,此时x<0,-x3/3!>0。结果还是对的
后面的符号情况,根据上面 1.3 加/减 中的内容即可得知
三、指对数
没有奇偶性,故所有次幂项都存在
ex是指数函数,且增加很快,带阶乘
ln(x+1)是对数函数,增加很慢,加减结合,不带阶乘
四、分式
以ex为基,记忆分式的展开式
1/(1-x),画图发现它增加很快(x->1-时,趋近于正无穷,比ex还快),把ex中的分母(那些阶乘式)去掉即可
(1+x)a,它增加的也比ex快,在分子上加了项。几次幂就加几个项,从a开始递减的等差数列
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