【欧拉图】Euler Graph（Fluery算法，Hierholzer算法）

合集 - 算法随笔(8)

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8.【欧拉图】Euler Graph（Fluery算法，Hierholzer算法）2023-11-06

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前言

此乃小 Oler 的一篇算法随笔，从今日后，还会进行详细的修订。

注明：有参考自论文《欧拉图相关的生成与计数问题探究》

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简单介绍

• 著名的哥尼斯堡七桥问题是18世纪著名的古典数学问题之一，该问题在相当长的时间里无人能解。欧拉经过研究，于1736年发表了论文《哥尼斯堡的七座桥》。这篇论文不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，而且给出并证明了更为广泛的一般性结论。从那时起，图论作为数学的一个新的分支而诞生。因此，欧拉图问题是图论的起源，也是图论研究中十分重要的一部分。

• 欧拉图是指通过图（无向图或有向图）中所有边且每边仅通过一次通路，相应的回路称为欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图（Euler Graph），具有欧拉通路而无欧拉回路的图称为半欧拉图。对欧拉图的一个现代扩展是蜘蛛图，它向欧拉图增加了可以连接的存在点。这给予欧拉图析取特征。欧拉图已经有了合取特征(就是说区定义了有着与起来的那些性质的对象在区中的存在)。所以蜘蛛图允许使用欧拉图建模逻辑或的条件。

    								注明：该介绍均来自于网络。
  

1 基本概念

定义 1.1. 图 $G$ 中与顶点 $v$ 关联的边数（自环统计两次）称为图 $G$ 中顶点 $v$ 的度。特别地，对于有向图 $G$，进入顶点 $v$ 的边的条数称为顶点 $v$ 的入度；从顶点 $v$ 引出的边的条数称为顶点 $v$ 的出度。

定义 1.2. 图 $G$ 中度为奇数的点称为奇顶点，度为偶数的点称为偶顶点，度为 $0$ 的点称为孤立点。

定义 1.3. 对于无向图 $G$ 中的两点 $u$ 和 $v$ ，若存在 $u$ 到 $v$ 的路径，则称 $u$ 和 $v$ 是连通的。如果图 $G$ 中任意两点都是连通的，则称图 $G$ 为连通图。对于有向图 $G$，将所有的有向边替换为无向边得到图 $G$ 的基图，若图 $G$ 的基图是连通的，则称图 $G$ 是弱连通图。

定义 1.4. 对于图 $G$ 中边 $e$ ，若删去 $e$ 后图 $G$ 的连通分量的数量增加，则称边 $e$ 为 $G$ 的桥（割边）。

定义 1.5. 图 $G$ 中一条路径指一个顶点与边的交替序列 $v_0,e_1,v_1,...,e_m,v_m$，其中 $e_i$ 为 $v_{i-1}$ 到 $v_i$ 的一条边。回路指满足 $v_0=v_m$ 的一条路径，一般不区分起点。

定义 1.6. 图 $G$ 中经过每条边恰一次的回路称为欧拉回路，经过每条边恰一次的路径称为欧拉路径。

定义 1.7. 存在欧拉回路的图称为欧拉图，存在欧拉路径但不存在欧拉回路的图称为半欧拉图。

定义 1.8. 不含平行边（也称重边）也不含自环的图称为简单图。

2 关于欧拉图的判定

2.1 无向图的判定

这里我们需要分类讨论，可以按顶点的度的奇偶性分类，如下

对于只存在偶顶点的图：

定理 2.1. 无孤立点的无向图 $G$ 为欧拉图，当且仅当图 $G$ 连通且所有顶点的度都是偶数。

证明. 首先证明必要性。因为图 $G$ 存在欧拉路径且没有孤立点，所以任意两个点都可以相互到达，图 $G$ 一定是连通图。如果图G存在回路 $v_0,v_1,...,v_{m-1},v_0$，那么对于顶点 $v_i(i=0,1,2,3,...,m-1)$ 来说，有一条进入 $v_i$ 的边就有一条从 $v_i$ 引出的边，所以与 $v_i$ 相邻的边总是成对的，得到 $v_i$ 的度为偶数。因此，如果图 $G$ 存在欧拉回路，那么图 $G$ 为连通图且所有顶点的度都是偶数。

接着我们来说明充分性。从 $G$ 中任意顶点 $v_0$ 出发，经关联的边 $e_1$ 进入 $v_1$，因为 $v_1$ 的度数是偶数，一定可以由 $v_1$ 再经关联的边 $e_2$ 进入 $v_2$，如此继续下去，每条边仅经过一次，经过若干步后必可回到 $v_0$，于是得到了一个圈 $c_1$。如果 $c_1$ 恰是图 $G$ ，则命题得证。否则在 $G$ 中去掉 $c_1$ 后得子图 $G_1$，$G_1$ 中每个顶点也是偶顶点，又因为图 $G$ 是连通的，所以在 $G_1$ 中必定存在一个和 $c_1$ 公共的顶点 $u$，在 $G_1$ 中存在一个从 $u$ 出发，到 $u$ 结束的圈 $c_2$，于是 $c_1$ 和 $c_2$ 合起来仍是一个回路。重复上述过程，因为 $G$ 中总共只有有限条边，总有一个时候得到的图恰好是 $G$。

来自蒟蒻的理解 2.1. 简单的来说，对于一个没有孤立点的无向欧拉图来说，要使其成为欧拉回路，先要保证图为连通，这个很容易理解。那么再到图中的任意一点 $v$ 都必须最终回到自己，那么就会有 $d$ 条边出去，最后又有 $d$ 条边进来，计算度数即为 $2\times d$，由此可知图中的点都会是偶数个。

对于存在奇顶点的图：

定理 2.2. 如果无向连通图有 $2k$ 个奇顶点，则图 $G$ 可以用 $k$ 条路径将图 $G$ 的每一条边经过一次，且至少要使用 $k$ 条路径。

证明. 我们先来证明路径条数的下界。设图 $G$ 可以分解成 $h$ 条链，每条链上至多有两个奇顶点，所以有 $2h\ge 2k$，即 $h\ge k$。因此 $k$ 是路径数量的下限。

接下来我们只需要构造一组方案。把这 $2k$ 个奇顶点分成 $k$ 对 $(v_1,v_1^{\prime }),(v_2,v_2^{\prime }),...,(v_k,v_k^{\prime })$。在每对点 $(v_i,v_i^{\prime })$ 之间添加一条边，得到图 $G^{\prime }$。图 $G^{\prime }$ 连通且没有奇顶点，所以 $G^{\prime }$ 存在欧拉回路。再把这 $k$ 条新添的边从回路中去掉，这个圈至多被分为 $k$ 段，我们就得到了 $k$ 条链。这说明图 $G$ 是可以用 $k$ 条路径将图 $G$ 的每一条边经过一次的。

来自蒟蒻的理解 2.2. 同上一个定理所述的差不多，但图中出现了奇数度的顶点，若

综合上述两个定理，我们已经了解了欧拉回路与欧拉路径存在的充要条件。我们可以由此推导出半欧拉图的判定条件：

定理 2.3. 无孤立点的无向图 $G$ 为半欧拉图，当且仅当图 $G$ 连通且 $G$ 的奇顶点个数为 $2$ 。

此时两个奇顶点分别为欧拉路径的起点和终点。