【动态规划】状态压缩DP（状压dp）

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一、引入

在动态规划状态设计中，若状态是一个集合，例如 $S=$ { $1,0,1,1,0$ } ，则表示第 $1、2、4$ 个节点被选中（从右往左对应 $0\sim 4$ 号节点）。若集合的大小不超过 $N$ ，则集合中的每个元素都是小于 $K$ 的正整数，可以把这个集合看作一个 $N$ 位 $K$ 进制数，以一个 $[0,K^N-1]$ 的十进制整数作为 DP 状态。可以将 $S=$ { $1,0,1,1,0$ } 看作一个 $5$ 位二进制数 $10110$ ，其对应的十进制数为 $21$ 。
这种将集合作为整数记录状态的一类算法叫作状态压缩 DP 。在状态压缩 DP 中，状态的设计直接决定了程序的效率或者代码长短。我们需要根据问题分析本质，才能更好地找出恰当的状态表示、状态转移方程和边界条件。

二、二进制 & 位运算

尽管用了一个十进制数据储存二进制状态，当因为操作系统是二进制的，所以在编译器中也可采用位运算解决这个问题。

1、基本位操作运算符

在状态压缩 DP 中广泛运用位运算操作，常见的位运算如下 ：

A	B	~A（差）	$A\mathrm{\&}B$（与）	$A|B$（或）	A ^ B（异或）
0	0	1	0	0	0
0	1	1	0	1	1
1	0	0	0	1	1
1	1	0	1	1	0

如果 $A,B$ 为整数，则可看成长度为 $32$ 位的两个二进制数各个位分别做上面操作。
例如：
$A＝10=(1010{)}_B,B＝12=(1100{)}_B$ 时，

$A\mathrm{\&}B=8=(1000{)}_B$
$A|B=14=(1110{)}_B$
$A$ ^ $B=6(0110{)}_B$
~ $A=-11(1...10101{)}_B$

另外，还有两个位移操作运算符左移(<<)、右移(>>)。
如：A<<B，表示 $A$ 的所有位都向左移动 $B$ 个，后面 $B$ 位用 $0$ 补充。
注意，对二进制数，位数高低为从右到左依次为 $0$ 位、$1$ 位、$2$ 位 $\dots$ 。
所以我们可以认为 A<<B 等价于 $A\times 2B$；A>>B 等价于 $\frac{A}{2B}$。

2，常见的操作有：

去掉最后一位 ( $101101\to 10110$ ) x >> 1
在最后加一个 $0$ ( $101101\to 1011010$ ) x << 1
在最后加一个 $1$ ( $101101\to 1011011$ ) x << 1 | 1
把最后一位变成 $1$ ( $101100\to 101101$ ) x | 1
把最后一位变成 $0$ ( $101101\to 101100$ ) x | 1 - 1
最后一位取反 ( $101101\to 101100$ ) x ^ 1
把右数第 $k$ 位变成 $1$ ( $101001\to 101101,k=3$ ) x | (1 << (k - 1))
把右数第 $k$ 位变成 $0$ ( $101101\to 101001,k=3$) x & not (1 << (k - 1))
右数第 $k$ 位取反 ( $101001\to 101101,k=3$ ) x ^ (1 << (k - 1))
取末三位 ( $1101101\to 101$ ) x & 7
取末 $k$ 位 ( $1101101\to 1101,k=5$ ) x & (1 << k - 1)
取右数第 $k$ 位 ( $1101101\to 1,k=4$ ) x >> (k - 1) & 1
把末 $k$ 位变成 $1$ ( $101001\to 101111,k=4$ ) x | (1 << k-1)
末 $k$ 位取反 ( $101001\to 100110,k=4$ ) x ^ (1 << k-1)
把右边连续的 $1$ 变成 $0$ ( $100101111\to 100100000$ ) x & (x + 1)
把右起第一个 $0$ 变成 $1$ ( $100101111\to 100111111$ ) x | (x + 1)
把右边连续的 $0$ 变成 $1$ ( $11011000\to 11011111$ ) x | (x - 1)
取右边连续的 $1$ ( $100101111\to 1111$ ) (x ^ (x + 1)) >> 1

3、表示集合（状态压缩）

有时我们用 $32$ 位的整型数的各个位表示一个最多 $32$ 个元素的集合，第 $i$ 位为 $1$ 表示第 $i$ 个元素在集合中，为 $0$ 则表示不在集合中。
常见的操作有：
并集操作 A | B
交集操作 A & B
集合的差 A & ~ B
补集 -1 ^ A （ $-1$ 为二进制数 $111...1$)
加入第 $i$ 个元素 A = A | (1 << (i - 1))
删除第 $i$ 个元素 A = A & ~ (1 << (i - 1))
判断第 $i$ 个元素 (A & (1 << (i - 1))) != 0

4、lowbit

求最低位的 $1$ 的位置，即著名的 lowbit 问题。

lowbit(int x) {
	return x&(-x);
}

三、实现流程

状态压缩 DP 大可分为两类 ：

• 棋盘式（基于连通性）DP
• 集合式 DP

状态压缩dp三部曲：

• 考虑如何状态压缩
• 确定状态表示和状态转移方
• 根据实际问题确定筛选条件

例题引入

著名的旅行商问题（ Traveling Salesman Problem，TSP ）指一个旅行商从一个城市出发，经过每一个城市一次且只有一次回到原来的地方，要求经过的距离最短。

TSP 问题是一个 NP 难题，目前没有多项式时间的高效算法。若采用搜索+剪枝，则该算法的时间复杂度为 $O(n!)$ ，数据量大时，这种方法无法解决，可以尝试采用动态规划解决。
假设已访问的节点集合为 $S$ （将源点 $0$ 当作未被访问的节点，因为从 $0$ 出发，所以要回到 $0$ ），当前所在的节点为 $u$ 。

I. 状态表示

$f_{S,u}$ 表示已经访问的节点集合为 $S$ ，从 $u$ 出发走完所有剩余节点回到源点的最短距离。

II. 状态转移方程

若当前 $u$ 的邻接节点 $v$ 未被访问，则 $f_{S,u}$ 由两部分组成，第 $1$ 部分是 $u$ 到 $v$ 的边值，第 $2$ 部分是从 $v$ 出发走完所有剩余节点再回到源点的最短距离。访问完 $v$ 之后，已访问的节点集合变为 $S\cap$ { $v$ } ，若 $u$ 有多个未被访问的邻接点 $v$ ，则取最小值。

$$f_{S,u}=min(f_{S\cap v,v}a+w_{u\to v}|v\notin S）$$

III. 临界条件

$f_{(1<<n)-1,0}=0$ ,表示若所有节点都被访问，则此时已经没有剩余节点，从 $0$ 节点出发走完所有剩余节点回到源点的最短距离为 $0$ 。

Code

void Traveling() {    //计算f[S][u]
	f[(1<<n)-1][0]=0;     //1<<n一定要加括号（别问我为什么）
	for(int S=(1<<n)-2;S>=0;S--) {
		for(int u=0;u<n;u++) {
			for(int v=0;v<n;v++) {
				if((u!=0&&!(S>>u&1))||w[u][v]==inf) continue;   //可以加约束条件，不加太多状态
				if(!(S>>v&1)&&f[S][u]>f[(S|1<<v)][v]+w[u][v]) {
					f[S][u]=f[(S|1<<v)][v]+w[u][v];
					path[S][u]=v;     //记录后继节点
				} 
			} 
		}
	}
}

训练 1 ：[USACO06NOV] Corn Fields G

源自 洛谷 P1879 [USACO06NOV] Corn Fields G

题目描述

农场主 $\mathrm{J}\mathrm{o}\mathrm{h}\mathrm{n}$ 新买了一块长方形的新牧场，这块牧场被划分成 $M$ 行 $N$ 列 $(1\le M\le 12;1\le N\le 12)$，每一格都是一块正方形的土地。 $\mathrm{J}\mathrm{o}\mathrm{h}\mathrm{n}$ 打算在牧场上的某几格里种上美味的草，供他的奶牛们享用。

遗憾的是，有些土地相当贫瘠，不能用来种草。并且，奶牛们喜欢独占一块草地的感觉，于是 $\mathrm{J}\mathrm{o}\mathrm{h}\mathrm{n}$ 不会选择两块相邻的土地，也就是说，没有哪两块草地有公共边。

$\mathrm{J}\mathrm{o}\mathrm{h}\mathrm{n}$ 想知道，如果不考虑草地的总块数，那么，一共有多少种种植方案可供他选择？（当然，把新牧场完全荒废也是一种方案）

输入格式

第一行：两个整数 $M$ 和 $N$，用空格隔开。

第 $2$ 到第 $M+1$ 行：每行包含 $N$ 个用空格隔开的整数，描述了每块土地的状态。第 $i+1$ 行描述了第 $i$ 行的土地，所有整数均为 $0$ 或 $1$ ，是 $1$ 的话，表示这块土地足够肥沃，$0$ 则表示这块土地不适合种草。

输出格式

一个整数，即牧场分配总方案数除以 $100,000,000$ 的余数。

样例 #1

样例输入 #1

2 3
1 1 1
0 1 0

样例输出 #1

9

题解

I. 分析题意

本题求在值为 $1$ 的土地上种上植草地，每个草地的上下左右相邻的土地上不能有草地，求所有的种植方案数。

II. 算法设计

Code